L'étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle est essentielle, notamment lors de la modélisation de phénomènes où des grandeurs varient proportionnellement à leurs valeurs.
I Propriétés
Pour tout réel x, on a ex > 0.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
Pour tout réel x, ex > 1 si et seulement si x > 0.
Pour tout réel a et tout réel b :
À noter
En particulier ex = 1 ⇔ x = 0.
ea = eb si et seulement si a = b
ea eb si et seulement si a b
II Tableau de variations et courbe représentative
Tableau de variation de la fonction exponentielle :
Dans le plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en son point d'abscisse 0 une tangente d'équation y = x + 1.
III Fonctions associées
À noter
Le calcul de cette dérivée fait appel à la dérivée des fonctions du type x ↦ g(ax + b) .
Soit k un réel strictement positif.
La fonction u : x ↦ ekx admet pour fonction dérivée x ↦ kekx. La fonction u est strictement croissante sur ℝ.
La fonction v : x ↦ e–kx admet pour fonction dérivée x ↦ –ke–kx. La fonction v est strictement décroissante sur ℝ.
Méthodes
1 Résoudre des équations et des inéquations
Déterminer les solutions de l'équation e2x = ex et de l'inéquation xex > x.
conseils
Pour résoudre ce type d'équation, on montre qu'elle est équivalente à une équation de la forme A × B = 0. De même, pour une inéquation, on montre qu'elle est équivalente à une inéquation de la forme A × B > 0.
solution
On a pour tout réel x :
e2x = ex ⇔ e2x – ex = 0
⇔ ex(ex – 1) = 0
⇔ ex = 0 ou ex = 1
⇔ x = 0.
Cette équation admet 0 pour unique solution.
Remarque : Pour tout x ∈ ℝ, ex > 0 donc l'équation ex = 0 n'admet pas de solution réelle.
On a pour tout réel x :
xex > x ⇔ xex – x > 0
⇔ x(ex – 1) > 0.
On peut faire un tableau de signe ou remarquer que, pour tout x ∈ ℝ, ex > 1 ⇔ x > 0.
Les facteurs x et ex – 1 sont de même signe, le produit est donc strictement positif sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ et nul pour x = 0. Cette inéquation admet pour solutions tous les réels non nuls.
2 Étudier les variations d'une fonction
On considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = xe–x.
a. Déterminer la fonction dérivée de f.
b. En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.
conseils
Pour dériver f, on utilise la formule de la dérivée d'un produit de fonctions.
Pour les variations, on étudie le signe de f ′(x) après l'avoir factorisé.
a. Pour tout réel x, f ′(x) = 1 × e–x + x × (–e–x) donc f ′(x) = (1 – x)e–x.
b. Pour tout réel x, e–x > 0 donc f ′(x) est du signe de 1 – x. La fonction f est donc strictement croissante sur ]–∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[.