Propriétés analytiques et applications

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Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Fonction exponentielle
 

L’étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle est essentielle, notamment lors de la modélisation de phénomènes où des grandeurs varient proportionnellement à leurs valeurs.

I Propriétés

Pour tout réel x, on a ex > 0.

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Pour tout réel x, ex > 1 si et seulement si x > 0.

Pour tout réel a et tout réel b :

À noter

En particulier ex = 1 x = 0.

ea = eb si et seulement si ab

 ea < eb si et seulement si a < b

II Tableau de variations et courbe représentative

Tableau de variation de la fonction exponentielle :

PB_Bac_05285_Math1_TT_p121-146_C05_Groupe_Schema_0

Dans le plan muni d’un repère, la courbe représentative de la fonction exponentielle admet en son point d’abscisse 0 une tangente d’équation yx + 1.

05285_chap05_fiche16i01

III Fonctions associées

À noter

Le calcul de cette dérivée fait appel à la dérivée des fonctions du type x ↦ g(axb)  .

Soit k un réel strictement positif.

La fonction u : x ↦ ekx admet pour fonction dérivée xkekx. La fonction u est strictement croissante sur ℝ.

La fonction v : x ↦ ekx admet pour fonction ­dérivée x ↦ –kekx. La fonction v est strictement ­décroissante sur ℝ.

Méthodes

1 Résoudre des équations et des inéquations

Déterminer les solutions de l’équation e2x = ex et de l’inéquation xexx.

conseils

Pour résoudre ce type d’équation, on montre qu’elle est équivalente à une équation de la forme A × B = 0. De même, pour une inéquation, on montre qu’elle est équivalente à une inéquation de la forme A × B > 0.

solution

On a pour tout réel x :

e2x = ex e2x – ex = 0

ex(ex – 1) = 0

ex = 0 ou ex = 1

x = 0.

Cette équation admet 0 pour unique solution.

Remarque : Pour tout x  ℝ, ex > 0 donc l’équation ex = 0 n’admet pas de ­solution réelle.

On a pour tout réel x :

xex > x xex – x > 0

x(ex – 1) > 0.

On peut faire un tableau de signe ou remarquer que, pour tout x  ℝ, ex > 1  x > 0.

Les facteurs x et ex – 1 sont de même signe, le produit est donc strictement positif sur ]–∞ ; 0[ ]0 ; +∞[ et nul pour x = 0. Cette inéquation admet pour solutions tous les réels non nuls.

2 Étudier les variations d’une fonction

On considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = xex.

a. Déterminer la fonction dérivée de f.

b. En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.

conseils

Pour dériver f, on utilise la formule de la dérivée d’un produit de fonctions.

Pour les variations, on étudie le signe de f(x) après l’avoir factorisé.

a. Pour tout réel x, f (x) = 1 × exx × (–ex) donc f(x) = (1 – x)ex.

b. Pour tout réel x, ex > 0 donc f ′(x) est du signe de 1 – x. La fonction f est donc strictement croissante sur ]–∞ ; 1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[.