Terminale générale Mathématiques Calcul intégral

L'intégrale possède des propriétés qui facilitent son calcul ou son encadrement, ce qui permet d'en obtenir une valeur approchée.

I Propriétés relatives aux bornes

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b de I, on a :

$\int_{a}^{a} f (t) d t = 0$

$\int_{b}^{a} f (t) d t = - \int_{a}^{b} f (t) d t$

À noter

La variable t est muette. On note indifféremment $\int_{a}^{b} f (t) d t,$ $\int_{a}^{b} f (x) d x,$ etc.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b, c de I, on a :

$\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t$

II Linéarité de l'intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

$\int_{a}^{b} (f (t) + g (t)) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{a}^{b} g (t) d t$

$\int_{a}^{b} λ f (t) d t = λ \int_{a}^{b} f (t) d t$

III Positivité et croissance de l'intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle $[a; b],$ $a \leq b .$

Si $f (t) \geq 0$ pour tout $t \in [a; b],$ alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \geq 0$

Si $f (t) \geq g (t)$ pour tout $t \in [a; b],$ alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \geq \int_{a}^{b} g (t) d t$

IV Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur un intervalle $[a; b],$ $a \leq b .$ Alors :

$\int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t = {[u (t) v (t)]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t$

Méthodes

1 Majorer ou minorer une intégrale

On pose $A = \int_{0}^{2} \frac{t^{3}}{1 + t^{2}} d t .$ Montrer que $0 \leq A \leq 4 .$

Conseils

Étape 1 Encadrez la fonction $t \mapsto \frac{t^{3}}{1 + t^{2}}$ sur l'intervalle d'intégration $[0; 2]$ par des fonctions dont on sait déterminer une primitive.

Étape 2 Utilisez la positivité et la croissance de l'intégrale.

Solution

Étape 1 Pour tout $t \in [0; 2],$ $1 + t^{2} \geq 1$ donc $0 \leq \frac{1}{1 + t^{2}} \leq 1$ . t étant positif, on en déduit que pour tout $t \in [0; 2],$ $0 \leq \frac{t^{3}}{1 + t^{2}} \leq t^{3} .$

Étape 2 Par positivité et croissance de l'intégrale, on en déduit que $0 \leq \int_{0}^{2} \frac{t^{3}}{1 + t^{2}} d t \leq \int_{0}^{2} t^{3} d t .$

Or $\int_{0}^{2} t^{3} d t = {[\frac{t^{4}}{4}]}_{0}^{2} = 4 .$

Donc $0 \leq A \leq 4$ .

2 Appliquer le théorème d'intégration par parties

Calculer $\int_{0}^{1} t e^{t} d t$ à l'aide d'une intégration par parties.

Conseils

Identifiez les fonctions $u^{'}$ et v du théorème, de telle sorte que l'intégrale $\int_{0}^{1} u (t) v^{'} (t) d t$ soit facile à calculer.

Solution

Pour tout $t \in [0; 1],$ on pose $\{\begin{matrix} u^{'} (t) = e^{t} \\ v (t) = t \end{matrix}$ , on a alors $\{\begin{matrix} u (t) = e^{t} \\ v^{'} (t) = 1 \end{matrix}$ .

Les fonctions u et v ainsi définies sont dérivables sur $[0; 1]$ à dérivées continues. Le théorème d'intégration par parties donne donc :

$\int_{0}^{1} t e^{t} d t = {[t e^{t}]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} d t = e - (e - 1)$ et $\int_{0}^{1} t e^{t} d t = 1 .$

Propriétés de l'intégrale

I Propriétés relatives aux bornes

À noter

II Linéarité de l'intégrale

III Positivité et croissance de l'intégrale

IV Intégration par parties

Méthodes

1 Majorer ou minorer une intégrale

Conseils

Solution

2 Appliquer le théorème d'intégration par parties

Conseils

Solution

Pour lire la suite