Fiche de révision

Propriétés de l'intégrale

Contenu


L'intégrale possède des propriétés qui facilitent son calcul ou son encadrement, ce qui permet d'en obtenir une valeur approchée.

I Propriétés relatives aux bornes

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b de I, on a :

aaf(t)dt=0

baftdt =abftdt

À noter

La variable t est muette. On note indifféremment abft dt,abfxdx, etc.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b, c de I, on a :

acf(t)dt=abf(t)dt+bcf(t)dt

II Linéarité de l'intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

ab(f(t)+g(t))dt=abf(t)dt+abg(t)dt

abλf(t)dt=λabf(t)dt

III Positivité et croissance de l'intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle [a ; b],ab.

Si ft0 pour tout t[a ; b], alors abftdt0

Si ftgt pour tout t[a ; b], alors abftdtabgtdt

IV Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur un intervalle [a ; b],ab. Alors :

abu(t)v(t)dt=[u(t)v(t)]ababu(t)v(t)dt

Méthodes

1 Majorer ou minorer une intégrale

On pose A=02t31+t2dt. Montrer que 0A4.

Conseils

Étape 1 Encadrez la fonction tt31+t2 sur l'intervalle d'intégration 0;2 par des fonctions dont on sait déterminer une primitive.

Étape 2 Utilisez la positivité et la croissance de l'intégrale.

Solution

Étape 1 Pour tout t[0 ; 2],1+t21 donc 011+t21. t étant positif, on en déduit que pour tout t[0 ; 2],0t31+t2t3.

Étape 2 Par positivité et croissance de l'intégrale, on en déduit que 002t31+t2dt02t3dt.

Or 02t3dt=[t44]02=4.

Donc 0A4.

2 Appliquer le théorème d'intégration par parties

Calculer 01tetdt à l'aide d'une intégration par parties.

Conseils

Identifiez les fonctions u et v du théorème, de telle sorte que l'intégrale 01u(t)v(t)dt soit facile à calculer.

Solution

Pour tout t[0 ; 1], on pose ut=etvt=t, on a alors ut=etvt=1.

Les fonctions u et v ainsi définies sont dérivables sur [0 ; 1] à dérivées continues. Le théorème d'intégration par parties donne donc :

01tetdt=[tet]0101etdt=e(e1) et 01tetdt=1.

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