Propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Nombres complexes : points de vue algébrique et géométrique


Les propriétés du module et des arguments d’un nombre complexe permettent de simplifier de nombreux calculs dans .

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O;u,v.

I Propriétés du module

Pour tous nombres complexes z et z :

 z=z=z¯

zz=zz

 1z=1z z0

 zz=zzz0

À noter

L’ensemble U=eiθ,θ est donc stable par produit et par inverse, c’est-à-dire que, pour tout z;zU2, on a zzU et 1zU.

z+zz+z (inégalité triangulaire)

 Pour tout entier relatif n, zn=zn

 Égalité du produit conjugué : zz¯=z2

Soient AzA, BzB et CzC trois points différents du plan complexe.

AB=AB=zBzA

ACAB=zCzAzBzA

II Propriétés des arguments

Pour tous nombres complexes z et z non nuls,

on a les égalités suivantes à 2π près :

argz=π+argz

 argz¯=argz

argzz=argz+argz

 arg1z=argz

 argzz=argzargz

 pour tout entier relatif n, argzn=nargz

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Soient AzA, BzB et CzC trois points différents du plan complexe.

u;AB=argzBzA

AB;AC=argzCzAzBzA

Méthode

Calculer un cosinus et un sinus particuliers

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O;u,v.

On considère les nombres complexes : a=eiπ3, b=2+i2 et c=ab.

a. Écrire chacun des deux nombres complexes b et c sous la forme reiθr est un nombre réel strictement positif et θ un nombre réel.

b. Donner la forme algébrique de chacun des deux nombres a et c.

c. En déduire la valeur exacte de cos7π12 et de sin7π12.

Conseils

a. Déterminez la forme trigonométrique de b.

Utilisez ensuite les propriétés du module et de l’argument pour déterminer la notation exponentielle du produit c = ab.

b. Utilisez les formes algébriques de a et b pour calculer c.

c. Utilisez l’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.

Solution

a. b=22+22=2+2=4=2.

Donc b=222+i22=2cosπ4+isinπ4=2eiπ4.

On a c=ab=eiπ3×2eiπ4=2eiπ3+π4=2ei4π12+3π12=2ei12.

À noter

Pour θ et θ deux nombres réels : eiθ×eiθ=eiθ+θ.

b. a=eiπ3=cosπ3+isinπ3=12+32i.

On a c=ab=12+32i2+i2=22+2 2i+3×22i3×22=2 62+i2+62cari2=1.

c. D’après la question a. : c=2ei7π12=2cos7π12+isin7π12.

D’après la question b. : c=262+i2+62.

Par identification des parties réelles et imaginaires de c, on obtient :

2cos7π12=2 62 et 2sin7π12=2+62,

soit cos7π12=2 64 et sin7π12=2+ 64.

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