Comme pour les réels, on peut définir les puissances et les inverses de matrices carrées. De même, les suites de matrices colonnes s'apparentent aux suites de nombres réels.

I Puissance entière d'une matrice carrée

Définition : Soient $n\in {\text{ℕ}}^{\ast }$, $p\in {\text{ℕ}}^{\ast }$, $p\ge 2$, $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. On note $A^p$ le produit de $p$ matrices égales à $A$, on pose $A^1=A$ et $A^0=I_n$.

Propriétés

Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées, $m$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.

$A^m{A}^p=A^{m+p}$ et ${\left(A^m\right)}^p=A^{mp}$

Si $D$ est une matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_i$ alors $D^p$ est la matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_i^p$.

II Matrices carrées inversibles

Définition : Soit $n\in {\text{ℕ}}^{\ast }$, une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est inversible si et seulement s'il existe une matrice carrée $B$ d'ordre $n$ telle que $BA=AB=I_n$.

La matrice $B$ est unique : c'est la matrice inverse de $A$, on la note $A^{-1}$.

On admet qu'il suffit que $AB=I_n$ ou que $BA=I_n$ pour que $A$ soit inversible et que $A^{-1}=B$.

Propriétés : Soit $n\in {\text{ℕ}}^{\ast }$ et soient $A$ et $B$ deux matrices carrées inversibles d'ordre $n$.

$A^{-1}$ est inversible et ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$.

La matrice $AB$ est inversible et ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.

III Matrices colonnes définies par récurrence

Soit $m\in {\text{ℕ}}^{\ast }$, soit $A$ une matrice carrée d'ordre $m$ et soit $C$ une matrice colonne de taille $m$. On peut alors définir la suite $\left(U_n\right)$ de matrices colonnes de taille $m$ par son premier terme une matrice colonne $U_0$ de taille $m$ et la relation de récurrence : pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=A{U}_n+C$.

Propriété : Si $C$ est nulle, alors on a pour tout entier naturel $n$ : $U_n=A^n{U}_0$.

Remarque : Pour une suite de matrice ligne $\left(L_n\right)$ de taille $m$ définie pour tout entier naturel $n$ par $L_{n+1}=L_{n}A$, on a pour tout entier naturel $n$ : $L_n=L_0{A}^n$.