Puissance et inverse d’une matrice – Matrices colonnes

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Graphes et matrices


Comme pour les réels, on peut définir les puissances et les inverses de matrices carrées. De même, les suites de matrices colonnes s’apparentent aux suites de nombres réels.

I Puissance entière d’une matrice carrée

Définition : Soient n, p, p2, A une matrice carrée d’ordre n. On note Ap le produit de p matrices égales à A, on pose A1=A et A0=In.

Propriétés

Soit A et B deux matrices carrées, m et p deux entiers naturels non nuls.

AmAp=Am+p et Amp=Amp

Si D est une matrice diagonale de coefficients diagonaux di alors Dp est la matrice diagonale de coefficients diagonaux dip.

À noter

En général ABnAnBn et A+B2A2+2AB+B2.

II Matrices carrées inversibles

Définition : Soit n, une matrice carrée A d’ordre n est inversible si et seulement s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que BA=AB=In.

La matrice B est unique : c’est la matrice inverse de A, on la note A1.

On admet qu’il suffit que AB=In ou que BA=In pour que A soit inversible et que A1=B.

Propriétés : Soit n et soient A et B deux matrices carrées inversibles d’ordre n.

A1 est inversible et A11=A.

La matrice AB est inversible et AB1=B1A1.

III Matrices colonnes définies par récurrence

Soit m, soit A une matrice carrée d’ordre m et soit C une matrice colonne de taille m. On peut alors définir la suite Un de matrices colonnes de taille m par son premier terme une matrice colonne U0 de taille m et la relation de récurrence : pour tout entier naturel n, Un+1=AUn+C.

Propriété : Si C est nulle, alors on a pour tout entier naturel n : Un=AnU0.

Remarque : Pour une suite de matrice ligne Ln de taille m définie pour tout entier naturel n par Ln+1=LnA, on a pour tout entier naturel n : Ln=L0An.

À noter

Cette propriété se démontre par récurrence.

Méthodes

1 Calculer une puissance d’une matrice carrée

Soit la matrice carrée B=1102.

Montrer par récurrence que pour tout n, Bn=12n102n.

Conseils

Pour démontrer l’hérédité, on peut écrire Bn+1=Bn×B puis utiliser l’hypothèse de récurrence.

Solution

Initialisation : Pour n=1, 12n102n=12102=B , la proposition est donc vraie au rang 1.

Hérédité : Supposons que pour un entier n, Bn=12n102n.

On a :

Bn+1=12n102n×1102=11+2n×2202n×2

=12n+1102n+1.

Conclusion : Pour tout n, Bn=12n102n.

2 Calculer l’inverse d’une matrice carrée

Soient la matrice A=2111 et la matrice B=1112.

Calculer A×B. En déduire que A est inversible et déterminer sa matrice inverse.

Conseils

On cherche une matrice carrée C telle que A×C=1001.

Solution

On a 21111112=3003.

On en déduit donc que A×13B=1001.

La matrice A est inversible et A1=13B=13131323.

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