Racine carrée

On sait calculer l'aire d'un carré de côté a : c'est a2. La racine carrée permet, entre autres, de résoudre le problème inverse : étant donné un carré d'aire a, quel est son côté ? C'est $\sqrt{a}$.

I Définition et propriétés

Étant donné un nombre a positif, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est la racine carrée de a notée $\sqrt{a}$.

Exemples : pour les carrés parfaits, on a $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$, etc.

Pour tout a ⩾ 0, ${(\sqrt{a})}^2=a$ : c'est la définition, illustrée par la figure ci-dessous.

Si 0  a  b alors $0\sqrt{a}\sqrt{b}$.

Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}= \left|x\right|$.

En effet $\sqrt{x^2}=\sqrt{{(\text{–}x)}^2}$ donc $\sqrt{x^2}=x$ si x ⩾ 0 et $\sqrt{x^2}=\sqrt{{(–x)}^2}=–x$ si x ⩽ 0.

La racine carrée d'un nombre négatif ­n'existe pas.

II Opérations sur les racines carrées

Soit deux nombres positifs a et b.

La racine carrée d'un produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres.

$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres.

Si b ≠ 0, $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Remarques : • Si b > 0 alors $\sqrt{\frac{1}{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}}$. En effet $\sqrt{\frac{1}{b}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}}$.

• Pour tous réels a et b positifs : $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ car $\sqrt{a^{2}b}=\sqrt{a^2}\sqrt{b}$.

Méthode

1 Visualiser la formule $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$

a. Chaque petit carré a pour aire 7 cm². Quelle est l'aire du grand carré représenté ci-contre ?

b. Combien mesure, en centimètres, le côté de chaque carré d'aire 7 cm² ?

c. En déduire que $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$.

conseils

a. Comptez les petits carrés qui constituent le grand carré.

b. Utilisez la définition du cours.

c. Exprimez l'aire du grand carré de deux façons.

solution

a. L'aire du grand carré est 63 cm² car il contient 9 carrés de 7 cm² chacun et 9 × 7 = 63.

b. Le côté de chaque petit carré mesure $\sqrt{7}$ cm par définition.

c. En centimètres, le côté du grand carré mesure $\sqrt{63}$. Sa mesure en centimètres est aussi égale à $\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{7}=3\sqrt{7}$. Donc $\sqrt{63}=3\sqrt{7}$.

2 Démontrer que $\sqrt{a+b}\sqrt{a}+\sqrt{b}$ lorsque a > 0 et b > 0

conseils

a. Utiliser l'identité remarquable (x + y)2 =… et ne pas oublier que $\sqrt{ab}$ est un nombre positif.

b. Calculer la racine carrée du membre à droite de l'inégalité et du membre à gauche.

a. Démontrer que ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2=a+2\sqrt{ab}+b$ et en déduire que ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2>a+b$.

b. En déduire l'inégalité demandée.

solution

a. ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2={(\sqrt{a})}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+{(\sqrt{b})}^2=a+2\sqrt{ab}+b$, car comme a > 0 et b > 0, ${(\sqrt{a})}^2=a$ et $({\sqrt{b)}}^2=b$. Comme $\sqrt{ab}>0$, $a+2\sqrt{ab}+b>a+b$ donc ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2>a+b$.

b. ${(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2>a+b\Rightarrow \sqrt{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2}>\sqrt{a+b}\Rightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$.

En effet, les aires des carrés sont classées dans le même ordre que les longueurs de leurs côtés. De plus, $\sqrt{x^2}=x$ si x ⩾ 0, avec ici $x=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.