Racine carrée

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les nombres réels


On sait calculer l’aire d’un carré de côté a : c’est a2. La racine carrée permet, entre autres, de résoudre le problème inverse : étant donné un carré d’aire a, quel est son côté ? C’est a.

I Définition et propriétés

Étant donné un nombre a positif, il existe un unique nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre est la racine carrée de a notée a.

Exemples : pour les carrés parfaits, on a 0=0, 1=1, 4=2, 9=3, 16=4, etc.

Pour tout a  0, (a)2=a : c’est la définition, illustrée par la figure ci-dessous.

Si 0 < a < b alors 0<a<b.

Pour tout réel x, x2= |x|.05294_C04_07

En effet x2=(x)2 donc x2=x si x  0 et x2=(x)2=x si x  0.

La racine carrée d’un nombre négatif ­n’existe pas.

À noter

Le symbole s’appelle un radical.

II Opérations sur les racines carrées

Soit deux nombres positifs a et b.

La racine carrée d’un produit de deux nombres est égale au produit des racines carrées de ces deux nombres.

À noter

Si a et b sont strictement positifs alors a+b<a+b : voir la méthode pour la démonstration.

a×b=a×b

La racine carrée du quotient de deux nombres est égale au quotient des racines carrées de ces deux nombres.

Si b 0, ab=ab

Remarques :  Si b > 0 alors 1b=1b. En effet 1b=1b=1b.

 Pour tous réels a et b positifs : a2b=ab car a2b=a2b.

Méthode

1 Visualiser la formule a2b=ab

05294_C04_08

a. Chaque petit carré a pour aire 7 cm². Quelle est l’aire du grand carré représenté ci-contre ?

b. Combien mesure, en centimètres, le côté de chaque carré d’aire 7 cm² ?

c. En déduire que 63=37.

conseils

a. Comptez les petits carrés qui constituent le grand carré.

b. Utilisez la définition du cours.

c. Exprimez l’aire du grand carré de deux façons.

solution

a. L’aire du grand carré est 63 cm² car il contient 9 carrés de 7 cm² chacun et 9 × 7 = 63.

b. Le côté de chaque petit carré mesure 7 cm par définition.

c. En centimètres, le côté du grand carré mesure 63. Sa mesure en centimètres est aussi égale à 7+7+7=37. Donc 63=37.

2 Démontrer que a+b<a+b lorsque a > 0 et b > 0

conseils

a. Utiliser l’identité remarquable (x + y)2 =… et ne pas oublier que ab est un nombre positif.

b. Calculer la racine carrée du membre à droite de l’inégalité et du membre à gauche.

a. Démontrer que (a+b)2=a+2ab+b et en déduire que (a+b)2>a+b.

b. En déduire l’inégalité demandée.

solution

a. (a+b)2=(a)2+2ab+(b)2=a+2ab+b, car comme a > 0 et b > 0, (a)2=a et (b)2=b. Comme ab>0, a+2ab+b>a+b donc (a+b)2>a+b.

b. (a+b)2>a+b(a+b)2>a+ba+b>a+b.

En effet, les aires des carrés sont classées dans le même ordre que les longueurs de leurs côtés. De plus, x2=x si x  0, avec ici x=a+b.