Rappels et compléments

Repère orthonormé

Le repère (O ; $\overrightarrow{i}$ ; $\overrightarrow{j}$) est orthonormé si : $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =\Vert \overrightarrow{j}\Vert =1$ et $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ sont orthogonaux.

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme (fig. 1), éventuellement aplati (fig. 2).

Coordonnées d’un vecteur défini par deux points

Soit A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) alors :

$\overrightarrow{\text{AB}}\left(\begin{array}{c}{x}_{\text{B}}-x_{\text{A}}\\ y_{\text{B}}-y_{\text{A}}\end{array}\right)$, aussi noté : $\overrightarrow{\text{AB}}(x_{\text{B}}-x_{\text{A}},y_{\text{B}}-y_{\text{A}})$,

ou $\overrightarrow{\text{AB}}|\begin{array}{c}{x}_{\text{B}}-x_{\text{A}}\\ y_{\text{B}}-y_{\text{A}}\end{array}$.

EXEMPLE

Sur la figure 3, on a : $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ et $\overrightarrow{\text{AB}}\text{(2,}\text{1)}$.

Figure 3

Coordonnées du milieu I du segment [AB]

$I\left(\frac{x_{\text{A}}+x_{\text{B}}}{2},\frac{y_{\text{A}}+y_{\text{B}}}{2}\right)$.

Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé

La norme de $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ est : $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$.

Distance de A à B dans un repère orthonormé

Dans P muni du repère $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ orthonormé :

si A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B), alors :

$\text{AB}=\sqrt{{(x_{\text{B}}-x_{\text{A}})}^2+{(y_{\text{B}}-y_{\text{A}})}^2}$.

EXEMPLE

Sur la figure 4, $\text{AB}=\sqrt{5}$.

Figure 4