Fiche de révision

Rappels et compléments sur la fonction exponentielle

Contenu


La fonction exponentielle étudiée en Première sert à définir la fonction logarithme népérien, et permet l'étude de fonctions plus ­complexes, grâce à la composition.

I Définitions et notations

Définition : La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ, de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0. On la note exp.

Notations : Le nombre exp(1) se note e, et pour tout ∈ ℝ, on note exp(x) = ex.

Définition : Pour toute fonction u définie sur un intervalle I, on définit la fonction eu par :

pour tout ∈ I, (eu)(x) = eu(x)

II Propriétés analytiques

La fonction exp est dérivable sur ℝ, et pour tout ∈ ℝ:

exp′(x)=exp(x)

La fonction exp est strictement croissante sur ℝ.

limxex=0 et limx+ex=+.

Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, la fonction eu est dérivable sur I, et on a :

eu=u×eu

III Propriétés algébriques

Pour tous réels a et b, et pour tout entier n, on a :

 ea × eb = e+ b   • ean=ena   •  ea=1ea   •  eaeb=eab

IV Équations et inéquations

Pour tous réels a et b, on a :

 ea = eba = b   • ea ba b

Méthode

Étudier une fonction contenant une exponentielle

Étudier la fonction f définie sur ℝ par :

f(x)=ex2

conseils

Étape 1 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 2 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 3 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Étape 4 Dressez le tableau de variations de f.

solution

Étape 1

f est de la forme eu avec u(x) = - x², pour tout réel x.

Elle est donc définie et dérivable sur ℝ. De plus eu=ueu, avec ux=2x.

Donc pour tout réel x, fx=2xex2.

Étape 2

La fonction exponentielle est strictement positive, donc 2xex2 est du signe de -2x, d'où fx>0 pour tout ∈ ]-∞ ; 0[, et fx0 pour tout ∈ ]0 ; + ∞[.

Donc f est strictement croissante sur ]  ; 0[, et strictement décroissante sur ]0 ; + [.

Étape 3

On sait que limxex=0, donc limxfx=limx+fx=0, par composition.

Étape 4

Tableau de 3 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; -∞; ; 0; ; -∞; Ligne 2 : f′x; ; +; ; -; ; Ligne 3 : f; 0; ; 1; ; 0;

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