La fonction exponentielle étudiée en Première sert à définir la fonction logarithme népérien, et permet l'étude de fonctions plus ­complexes, grâce à la composition.

I Définitions et notations

Définition : La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ, de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0. On la note exp.

Notations : Le nombre exp(1) se note e, et pour tout x ∈ ℝ, on note exp(x) = e^x.

Définition : Pour toute fonction u définie sur un intervalle I, on définit la fonction e^u par :

pour tout x ∈ I, (e^u)(x) = e^u(x)

II Propriétés analytiques

La fonction exp est dérivable sur ℝ, et pour tout x ∈ ℝ:

$\text{exp′}(x)=\text{exp}(x)$

La fonction exp est strictement croissante sur ℝ.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$.

Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle I, la fonction e^u est dérivable sur I, et on a :

${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }\times {\mathrm{e}}^u$

III Propriétés algébriques

Pour tous réels a et b, et pour tout entier n, on a :

 e^a × e^b = e^a + b   • ${\left({\mathrm{e}}^a\right)}^n={\mathrm{e}}^{na}$   • ${\mathrm{e}}^{-a}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^a}$   • $\frac{{\mathrm{e}}^a}{{\mathrm{e}}^b}={\mathrm{e}}^{a-b}$

IV Équations et inéquations

Pour tous réels a et b, on a :

 e^a = e^b ⇔ a = b   • e^a  e^b ⇔ a  b

Méthode

Étudier une fonction contenant une exponentielle

Étudier la fonction f définie sur ℝ par :

$f\left(x\right)=e^{-x^2}$

conseils

Étape 1 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 2 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 3 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Étape 4 Dressez le tableau de variations de f.

solution

Étape 1

f est de la forme e^u avec u(x) = - x², pour tout réel x.

Elle est donc définie et dérivable sur ℝ. De plus ${\left({\mathrm{e}}^u\right)}^{\prime }=u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$, avec $u^{\prime }\left(x\right)=-2x$.

Donc pour tout réel x, $f^{\prime }\left(x\right)=-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$.

Étape 2

La fonction exponentielle est strictement positive, donc $-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$ est du signe de -2x, d'où $f^{\prime }\left(x\right)>0$ pour tout x ∈ ]-∞ ; 0[, et $f^{\prime }\left(x\right)0$ pour tout x ∈ ]0 ; + ∞[.

Donc f est strictement croissante sur $\left]-\infty ;0\right[,$ et strictement décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$.

Étape 3

On sait que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\mathrm{e}}^x\right)=0$, donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$, par composition.

Étape 4