Rappels sur les vecteurs

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. En physique, il permet de modéliser une grandeur qui ne peut être définie par un nombre seul (déplacement, force, vitesse, champ électrique…).

I Définitions et propriétés

1 Égalité de vecteurs

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ si et seulement si la translation qui transforme A en B transforme également C en D.

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Si les points A et B ont pour coordonnées (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA).

2 Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles : $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AC}}$.

Règle du parallélogramme : $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ avec D tel que ABDC soit un parallélogramme (éventuellement aplati).

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′), alors $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′).

3 Produit d'un vecteur par un nombre réel

Si k est un nombre réel et $\overrightarrow{u}$ le vecteur de coordonnées (x ; y), $k\overrightarrow{u}$ est le vecteur de coordonnées (kx ; ky).

II Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.

Le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.

Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x^{\prime };y^{\prime })$ sont colinéaires si et seulement si xy′ – x′y = 0.

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.

Méthodes

1 Montrer qu'un point est le milieu d'un segment

Soit A, B, C trois points non alignés, R le point tel que $\overrightarrow{\text{CR}}=\overrightarrow{\text{AB}}$, M le point tel que $\overrightarrow{\text{BM}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}$.

Montrer que $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{BA}}$. En déduire que C est le milieu du segment [RM].

conseils

À l'aide de la relation de Chasles, écrivez le vecteur $\overrightarrow{\text{CM}}$ sous forme d'une somme de deux vecteurs, puis montrez que les vecteurs $\overrightarrow{\text{CM}}$ et $\overrightarrow{\text{CR}}$ sont opposés.

solution

• D'après la relation de Chasles : $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{BM}}$.

Or $\overrightarrow{\text{BM}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}$, donc $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}\text{.}}$

Comme $\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{0}$, on a $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{BA}}$.

• $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{BA}}$ et $\overrightarrow{\text{CR}}=\overrightarrow{\text{AB}}$, donc les vecteurs $\overrightarrow{\text{CM}}$ et $\overrightarrow{\text{CR}}$ sont opposés ($\overrightarrow{\text{CR}}=–\overrightarrow{\text{CM}}$), donc C est le milieu du ­segment [RM].

2 Déterminer les coordonnées d'un point

Le plan est muni d'un repère (O, I, J). On considère les points A(–3 ; –1), B(–1 ; 3) et C(–1 ; –3).

Déterminer les coordonnées du point M tel que $\overrightarrow{\text{AM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{\text{AC}}$.

conseils

Calculez les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $2\overrightarrow{\text{AC}}$, puis celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{\text{AC}}$. Notez (x ; y) les coordonnées de M et exprimez les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AM}}$.

solution

On a $\overrightarrow{\text{AB}}(2;4)$ et $\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}(1;2)$, puis $\overrightarrow{\text{AC}}(2;–2)$ et $2\overrightarrow{\text{AC}}(4;–4)$. $\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{\text{AC}}$ a donc pour coordonnées (5 ; –2). On note M(x ; y), $\overrightarrow{\text{AM}}$ a pour coordonnées (x + 3 ; y + 1).

On a donc le système : $\{\begin{array}{l}x+3=5\\ y+1=–2\end{array}$

D'où x = 2 et y = –3. M est le point de coordonnées (2 ; –3).