En bref Pour trouver les diviseurs d'un nombre entier, on peut s'aider des critères de divisibilité.
IMultiples et diviseurs
On désigne par a et b deux entiers strictement positifs.
On dit que b est un diviseur de a s'il existe un entier positif n tel que a = b × n.
a est alors un multiple de b.
Mot clé
Les nombres entiers sont des nombres qui s'écrivent sans virgule.
Exemples : 30 = 5 × 6, donc 5 est un diviseur de 30 et 30 est un multiple de 5.
21 = 3 × 7 donc 3 est un diviseur de 21 et 21 est un multiple de 3.
IILes critères de divisibilité
Un entier est divisible par 2 si le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Cet entier est alors pair.
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un entier est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5.
Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un entier est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.
Exemples : 120 est divisible par 2, 3, 5 et 10.
75 est divisible par 3 et 5.
IIITrouver les diviseurs d'un nombre entier
Pour trouver les diviseurs d'un nombre, il faut écrire de toutes les façons possibles ce nombre sous la forme d'un produit de deux entiers, en s'aidant des critères de divisibilité. On cherche si l'entier est divisible par 1, 2, 3, 4, ainsi de suite.
À noter
Tout nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemple : On veut trouver les diviseurs de 40.
40 s'écrit 40 × 1, donc 40 est divisible par 1 et 40.
40 est un nombre pair et 40 = 2 × 20, donc 2 et 20 sont des diviseurs de 40.
La somme des chiffres de 40 est 4, donc 40 n'est pas divisible par 3.
40 s'écrit 4 × 10 ou 5 × 8.
Il n'y a plus d'entiers entre 5 et 8 qui divisent 40.
Donc les diviseurs de 40 sont : 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 et 40.
Méthodes
1 Utiliser les critères de divisibilité
1 3 210 est-il divisible par 2, 3 ou 5 ?
2 Quel nombre compris entre 31 et 59 est divisible à la fois par 3 et 5 ?
Conseils
Observe le chiffre des unités de 3 210. Est-il pair ? Est-ce un 0 ou un 5 ?
Calcule la somme des chiffres de 3 210. Est-elle divisible par 3 ?
Solution
1 0 est le chiffre des unités de 3 210, donc 3 210 est divisible par 2 et par 5.
La somme des chiffres de 3 210 est 3 + 2 + 1 + 0 = 6. 6 est divisible par 3, donc 3 210 est divisible par 3.
2 Un nombre divisible par 3 et 5 est un multiple de 15. Le seul multiple de 15 compris entre 31 et 59 est 45.
2 Trouver les diviseurs d'un entier
Écrire la liste des diviseurs de 63.
Conseils
Souviens-toi que 63 est divisible par 1 et par lui-même.
Explique pourquoi 63 n'est pas divisible par 2.
Utilise ensuite les critères de divisibilité ou les tables de multiplication pour écrire 63 sous la forme d'un produit de deux facteurs.
Solution
63 est divisible par 1 et 63.
63 n'est pas un nombre pair, donc il n'est pas divisible par 2.
La somme des chiffres 6 et 3 est égale à 9. 9 est divisible par 3, donc 63 est divisible par 3. On a 63 = 3 × 21.
63 n'est pas divisible pas 4, 5 et 6. Par contre, 63 = 7 × 9. 63 est donc divisible par 7 et 9.
Les diviseurs de 63 sont donc 1, 3, 7, 9, 21 et 63.