Rechercher un extremum d’une fonction

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Étude de fonctions
Corpus Corpus 1
Rechercher un extremum d’une fonction

FB_Bac_99063_Mat1_S_012

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Rappels de cours

1 Définition

Soit une fonction définie sur un intervalle

? La fonction admet un maximum sur atteint en étant un réel appartenant à si pour tout réel de

est le maximum de sur .

? La fonction admet un minimum sur atteint en étant un réel appartenant à si pour tout réel de

est le minimum de sur

2 Lien entre dérivée et extremum

Soient une fonction dérivable sur un intervalle ouvert et un réel appartenant à Si la dérivée s’annule en en changeant de signe, alors admet un extremum local en


 

Contre-exemple?La fonction cube n’admet pas d’extremum local toutefois sa dérivée s’annule en 0 (sans changer de signe).

remarque La condition «? s’annule?» n’est pas une condition suffisante pour s’assurer que f ait un extremum.

Méthodes

Rechercher un extremum d’une fonction

Soit la fonction définie sur par .

Démontrer que la fonction admet un minimum sur .

Conseils

Dressez le tableau de variations de cette fonction.

Solution

La fonction étant un polynôme de degré 3, elle est dérivable sur et, pour tout réel

est donc du signe de dont les racines sont et (>?Fiches?2et?3). Il en découle le tableau de variations suivant?:


 

admet ainsi un minimum sur qui est −?35 atteint en

Établir une inégalité

Soit la fonction définie sur par sa courbe représentative dans un repère du plan et la tangente à au point d’abscisse d’équation

1.?Démontrer que la fonction définie sur par admet un extremum local en

2.?En déduire que sur l’intervalle Interpréter graphiquement cette inégalité.

Conseils

Déterminez et étudiez son signe. Précisez la nature de l’extremum local.

Solution

1.?La fonction étant un polynôme, elle est dérivable sur et donc sur Sa dérivée est définie sur par?:

.

Elle s’annule en sur I. Étudions le signe de

  • Si et Ainsi,
  • Si et Ainsi,

Comme s’annule en en changeant de signe, la fonction admet un extremum local en en particulier un maximum local.

2.?D’après 1., pour tout réel de .

Ainsi?:

Donc, sur la courbe est en dessous de la tangente

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