Fiche de révision

Relation de Bernoulli

Contenu


Le principe de conservation de l'énergie appliqué au mouvement d'un fluide parfait incompressible, s'écoulant en régime permanent et sans frottement, permet d'aboutir à la relation de Bernoulli.

I Relation de Bernoulli

Un fluide parfait est un fluide « parfaitement fluide » : son écoulement n'est pas freiné par la viscosité contre les parois. C'est un cas idéal.

À partir du principe de la conservation de l'énergie mécanique et parce qu'il ne subit pas de frottement, on peut écrire pour un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent, en deux points d'une même ligne de courant :

PA+12×ρ×vA2+ρ×g×zA=PB+12×ρ×vB2+ρ×g×zB

avec PA et PB en Pa ; ρ en kg · m−3 ; g en N · kg−1 ; vA et vB en m · s1 ; zA et zB hauteurs des points A et B en m.

Mot clé

Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points, à chaque instant et localement, au vecteur vitesse de l'écoulement.

Interprétation : dans le cas d'un écoulement permanent sur toute la section du tuyau d'un fluide parfait et incompressible, une augmentation de vitesse du fluide en un point implique une diminution de la pression en ce même point.

Si le fluide est immobile, la relation de Bernoulli devient :

PA+ρ×g×zA=PB+ρ×g×zB soit : PBPA=ρ×g×zAzB.

On retrouve le principe fondamental de la statique des fluides (étudié en classe de 1re) qui est donc un cas particulier de l'équation de Bernoulli.

II Effet Venturi

On considère un fluide incompressible s'écoulant dans un tuyau à étranglement qui a deux sections différentes (SA = SC > SB).

D'après le principe de continuité, le débit est conservé, donc on a :

DA = DB = DC d'où SA×vA=SB×vB.

Si zA=zB, la relation de Bernoulli devient PAPB=12ρvB2vA2.

Comme SA > SB, vB>vA, alors : PA>PB.

06466_C10_04

On en conclut que lorsqu'un fluide traverse une section de plus faible diamètre, la pression diminue et la vitesse augmente : ce phénomène est appelé effet Venturi.

Méthode

Calculer une vitesse d'écoulement

On considère un réservoir rempli d'eau à une hauteur H = 2,5 m. Un trou de vidange de diamètre d2 = 10 mm est situé à sa base. Le réservoir à un diamètre d1, tel que d1 >> d2.

06466_C10_05

a. Quelles sont les valeurs de la pression à la surface de l'eau dans le réservoir PA et à la sortie du trou de vidange P?

b. Expliquer pourquoi on peut négliger vA par rapport à vB.

c. À partir de la relation de Bernoulli :

PA+12ρvA2+ρgzA=PB+12ρvB2+ρgzB,

calculer la vitesse vB de l'eau lors de son écoulement par le trou de vidange.

Données : Patm = 1,0 × 105 Pa ; masse volumique de l'eau ρeau = 1 000 kg · m3 intensité de la pesanteur : g = 9,81 N · kg1.

Conseils

a. La surface d'un fluide en contact avec l'atmosphère est à la pression atmosphérique : au niveau du trou de vidange, l'eau qui sort de la cuve subit la pression de l'air.

b. Servez-vous du principe de continuité pour exprimer vA en fonction de vB.

c. Exprimez la relation de Bernoulli en tenant compte des réponses aux questions précédentes. Veillez à ne pas oublier la racine carrée dans l'expression de vB.

Solution

a. La surface de l'eau du réservoir et l'eau à la sortie du trou de vidange sont à la pression atmosphérique, soit PA = PB = Patm = 1,0 × 105 Pa.

b. D'après le principe de continuité, nous avons SA×vA=SB×vB.

D'après l'énoncé, d1 >> d2 soit SA >> SB et donc : vA vB. On peut donc négliger vA par rapport àvB.

c. La relation de Bernoulli donne : 2PAPBρ+2×g×zAzB=vB2vA2

Grâce aux questions précédentes, on peut simplifier l'expression :

465586-Eqn59

On en déduit : vB2=2×g×zAzB.

D'où vB=2×g×H. Soit vB=2×9,81×2,5=7,0ms1.

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