Lorsqu’un repère est choisi, tout point du plan possède deux coordonnées, son abscisse et son ordonnée. Certains ensembles, comme la courbe représentative d’une fonction, sont caractérisés par une relation entre les coordonnées de leurs points.

ICourbe représentative d’une fonction

Soit f une fonction définie sur $D$.

Définition : La courbe représentative de f, notée $C$_f, est l’ensemble des points de coordonnées $\left(x;f\left(x\right)\right)$, avec $x\in D$.

Conséquence : $\text{M}\left(x;y\right)\in C_f$ si et seulement si $x\in D$ et $y=f\left(x\right)$.

Image d’un nombre : Si $a\in D$, $f\left(a\right)$ est l’ordonnée du point de $C$_f d’abscisse a.

Antécédents, résolution graphique d’une équation : Soit $k\in \text{ℝ}$. Les antécédents de k par f sont les solutions de l’équation $f\left(x\right)=k$. Graphiquement, ce sont les abscisses des points de $C$_f dont l’ordonnée est égale à k, c’est-à-dire les abscisses des points d’intersection de $C$_f et de la droite d’équation $y=k$.

Si g est également une fonction définie sur $D$, les solutions de l’équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentatives des fonctions f et g.

IILecture graphique des variations de fonction

La fonction f est croissante sur un intervalle si, sur cet intervalle, sa courbe « monte ». Lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées des points correspondants de $C_f$ augmentent également : f « conserve » l’ordre.

La fonction f est décroissante sur un intervalle si, sur cet intervalle, sa courbe « descend ». Lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées des points correspondants de $C_f$ diminuent : f « inverse » l’ordre.

Accélération ou ralentissement de la croissance :

Méthodes

1 Donner par lecture graphique l’image ou les antécédents d’un nombre par une fonction

La courbe $C$ représente une fonction f définie sur l’intervalle $\left[-\mathrm{1,2};\mathrm{3,2}\right]$. Par lecture graphique :

a. déterminer $f\left(1\right)$ ;

b. déterminer le nombre d’antécédents de 1 par la fonction f et en donner une valeur approchée ;

c. déterminer le nombre d’antécédents de 4 par la fonction f.

Conseils

Les images se lisent sur l’axe des ordonnées, les antécédents sur l’axe des abscisses.

Solution

a. $f\left(1\right)=1$ car $C$ passe par le point de coordonnées $\left(1;1\right)$.

b. 1 a trois antécédents par f, car il existe sur la courbe $C$ trois points ­d’ordonnée 1. Les abscisses de ces points sont les antécédents de 1 ; elles valent environ −0,8 ; 1 et 2,7.

c. 4 n’a pas d’antécédent par f car il n’existe sur $C$ aucun point d’ordonnée 4.

2 Résoudre graphiquement une équation

Sur le graphique ci-dessus, on considère les courbes $C$, $C^{\prime }$ et $C^{″}$ représentant trois fonctions f, g et h définies sur $\left[-\mathrm{1,5};3\right]$. Par lecture graphique, déterminer le nombre de solutions de chaque équation, ainsi qu’une valeur approchée de chacune :

a. $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ ;

b. $f\left(x\right)=h\left(x\right)$.

Conseils

Lisez sur le graphique la ou les abscisse(s) des points d’intersection des deux courbes.

Solution

a. Deux solutions, égales environ à −1 et 1,4.

b. Trois solutions, égales environ à −0,4 ; 1 et 2,4.