Fiche de révision

Résolution de l'équation différentielle y'= ay + b où a et b sont des constantes

Contenu

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b ou dydx = ay + b sont les fonctions définies sur par :

xkeaxba, où k est une constante réelle quelconque.

L'équation différentielle y′ = ay + b ou dydx = ay + b admet une solution f, et une seule, définie sur , vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.

EXEMPLE

La modélisation d'un phénomène physique conduit à l'équation différentielle (E) : 2y′ + y = 12, où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur et y′ est la fonction dérivée de y.

• L'équation différentielle (E) s'écrit : y'=12y+14. C'est une équation de la forme y′ = ay + b, avec a=12 et b=14.

Les solutions sont donc définies sur par : xkeaxba=ke12x1412=ke12x+12, où k est une constante réelle quelconque.

• Déterminons la solution particulière ϕ de (E) qui vérifie ϕ(0) = 0.

ϕ(0) = 0 se traduit par :

ke0+12=0 ; k+12=0 ; k=12.

ϕ est définie par : φ(x)=12e12x+12.

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