Résolution de l'équation différentielle y'= ay + b où a et b sont des constantes

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b ou $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ = ay + b sont les fonctions définies sur ℝ par :

$x\mapsto k{\text{e}}^{ax}-\frac{b}{a}$, où k est une constante réelle quelconque.

L'équation différentielle y′ = ay + b ou $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ = ay + b admet une solution f, et une seule, définie sur ℝ, vérifiant la condition initiale f(x₀) = y₀, où x₀ et y₀ sont donnés.

EXEMPLE

La modélisation d'un phénomène physique conduit à l'équation différentielle (E) : 2y′ + y = $\frac{1}{2}$, où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ et y′ est la fonction dérivée de y.

• L'équation différentielle (E) s'écrit : $y\text{'}=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$. C'est une équation de la forme y′ = ay + b, avec $a=-\frac{1}{2}$ et $b=\frac{1}{4}$.

Les solutions sont donc définies sur ℝ par : $x\mapsto k{\text{e}}^{ax}-\frac{b}{a}=k{\text{e}}^{–\frac{1}{2}x}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=k{\text{e}}^{–\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}$, où k est une constante réelle quelconque.

• Déterminons la solution particulière ϕ de (E) qui vérifie ϕ(0) = 0.

ϕ(0) = 0 se traduit par :

$k{\text{e}}^0+\frac{1}{2}=0$ ; $k+\frac{1}{2}=0$ ; $k=–\frac{1}{2}$.

ϕ est définie par : $\phi \left(x\right)=–\frac{1}{2}{\text{e}}^{–\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}$.