Résolution de l'équation différentielle y'= ay où a est une constante réelle

Les solutions de l'équation différentielle y′ = ay ou $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ = ay sont les fonctions définies sur ℝ par :

x ↦ ke^ax, où k est une constante réelle quelconque.

L'équation différentielle y′ = ay ou $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ = ay admet une solution f, et une seule, définie sur ℝ, vérifiant la condition initiale f(x₀) = y₀, où x₀ et y₀ sont donnés.

EXEMPLE

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{\prime }=\frac{3}{4}y$, dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur ℝ et y′ la fonction dérivée de y.

• Toutes les solutions de (E) sont donc définies sur ℝ par : $f(x)=k{\text{e}}^{\frac{3}{4}x}$, où k est une constante réelle quelconque.

• Déterminons la solution particulière f de (E) qui vérifie f′(0) = – 6.

Pour tout x de ℝ, $f^{\prime }(x)=k\left(\frac{3}{4}{\text{e}}^{\frac{3}{4}x}\right)$.

f′(0) = 6 se traduit par : $\frac{3}{4}k{\text{e}}^0=6$ ; e⁰ = 1, donc $\frac{3}{4}k=6$ ; k = 8.

La solution cherchée est définie sur ℝ par : $f(x)=8{\text{e}}^{\frac{3}{4}x}$.