Résoudre des équations de degré 2

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Corpus Corpus 1
Résoudre des équations de degré 2

FB_Bac_98617_MatT_S_046

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Rappels de cours

1Détermination des racines dans

Théorème On considère une équation du second degré à coefficients réels étant non nul.

remarque On peut regrouper les deux premiers cas en .

On pose , appelé discriminant.

  • Si , l’équation a deux racines réelles distinctes

et .

  • Si , l’équation admet une racine réelle double .
  • Si , l’équation admet deux racines complexes conjuguées :

et .

remarques

  • Toute équation du second degré a donc au moins une solution dans .
  • Soit et les deux racines complexes de l’équation , alors on peut écrire :

.

  • Les questions de signe d’un nombre complexe non réel et de résolution d’inéquations ne se posent pas dans .

2Propriétés des racines

 Si et sont deux racines de l’équation , alors on a :

et .

 Soit un polynôme à coefficients réels. Si est une racine de , alors son conjugué est aussi une racine de .

rappel

En effet, . Or , donc .

Méthode

Étudier un polynôme du second degré

On considère le polynôme et sont deux réels. On donne et .

1. Sans calculs, trouver les valeurs de et .

2. Trouver et .

3. Donner les formes algébriques des solutions de l’équation et placer leurs images et dans le plan complexe, puis calculer les longueurs des côtés du triangle .

Conseils

1. Utilisez le fait que pour tout , .

2. Choisissez une des deux égalités ou et procédez par identification.

3. et sont les modules des solutions.

Solution

1. Puisque les coefficients de sont réels, donc égaux à leurs conjugués, on a .

rappel

On a aussi .

2.

Par identification, on trouve et .

On vérifie qu’on a bien .

rappel

Conclusion : .


3. Calculons le discriminant :

.

L’équation a donc deux solutions non réelles conjuguées : et , c’est-à-dire et .  ;

on voit immédiatement que .

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