En bref Pour résoudre des équations du second degré, on est souvent amené à factoriser un des membres de l'équation à l'aide d'une identité remarquable. On obtient alors une équation produit.

IUne identité remarquable pour factoriser ou développer

Soit a et b deux nombres quelconques. On a l'identité remarquable suivante : $a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$.

Exemples :

On veut factoriser $A=x^2-9$. $x^2$ est le carré du nombre $x$ et 9 est le carré de 3.

On a : $A=x^2-3^2=\left(x+3\right)\left(x-3\right)$.

On veut développer $B=\left(x+5\right)\left(x-5\right)$. Le carré du nombre $x$ est $x^2$ et le carré de 5 est $5^2$.

On a : $B=x^2-5^2=x^2-25.$

On veut développer $C=\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$. Le carré de 2x est 2x × 2x = 4x² et le carré de 1 est 1.

On a : $C=4x^2-1$.

IIÉquation produit

Une équation produit est une équation dont l'un des membres est un produit de facteurs et dont l'autre membre est nul.

Pour résoudre ce type d'équation, on applique la propriété suivante :

si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.

Exemple :

Résoudre l'équation $\left(x+2\right)\left(3x-1\right)=0$

$\left(x+2\right)\left(3x-1\right)=0$ donc $\begin{array}{c}x+2=0\text{ ou }3x-1=0\\ x=-2\text{ ou }x=\frac{1}{3}\end{array}$

Vérification :

pour $x=-2$, on a $\left(-2+2\right)\left(3\left(-2\right)-1\right)=0\times \left(-7\right)=0$ ;

pour $x=\frac{1}{3}$, on a : $\left(\frac{1}{3}+2\right)\left(3\left(\frac{1}{3}\right)-1\right)=\left(\frac{1}{3}+2\right)\times 0=0$.

Les solutions de cette équation sont −2 et $\frac{1}{3}$.