Résoudre graphiquement une équation, une inéquation

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Expressions algébriques. Résolution d'équations et d'inéquations - Généralités sur les fonctions


Rappels de cours

Soit une fonction f définie sur un ensemble D. Soit k un réel.

1 Résolution graphique d’une équation

On résout graphiquement l’équation f(x)=k en cherchant les éventuels antécédents de k par la fonction f. Pour cela :

on trace une droite parallèle à l’axe des abscisses qui coupe l’axe des ordonnées en y=k ;

on repère les éventuels points d’intersection de cette droite avec la courbe représentative de f ;

on conclut : « les solutions de l’équation f(x)=k, si elles existent, sont les abscisses des points éventuellement repérés ».

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exemple On considère la fonction f définie sur [2;1,5] dont on donne ci-contre la courbe représentative.

Les solutions de l’équation f(x)=1 sont x=2, x=0 et x=1. L’ensemble des solutions se note S={2;0;1}.

L’équation f(x)=0,5 n’a pas de solution. L’ensemble des solutions se note S= (ensemble vide).

2 Résolution graphique d’une inéquation

On résout graphiquement l’inéquation f(x)<k en cherchant les abscisses des points de Cf d’ordonnée inférieure à k. Pour cela :

on trace une droite parallèle à l’axe des abscisses qui coupe l’axe des ordonnées en y=k ;

on repère les éventuels points de la courbe 𝒞f  représentative de fsitués en dessous de la droite précédemment tracée ;

on conclut : « les solutions de l’inéquation f(x)<k, si elles existent, sont les abscisses des points éventuellement repérés ».

Remarque : On adapte la méthode pour résoudre f(x)k, f(x)>k ou f(x)k.

Méthodes

Résoudre graphiquement une inéquation

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On donne ci-contre la courbe représentative Cf d’une fonction f définie sur [7;8].

Résoudre graphiquement les inéquations f(x)2 et f(x)>3.

Conseils

Tracez des droites « horizontales » bien choisies pour vous aider dans la détermination de l’ensemble des solutions.

 

Solution

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L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)2 est S=[4;0].

L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)>3 est S=]2;4[.

Étudier la position relative de deux courbes

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On donne ci-contre les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur [1;4], notées respectivement Cf et Cg.

Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)<g(x).

Conseils

Déterminez sur quel(s) intervalle(s) Cf est en dessous de Cg.

 

Solution

Cf est en dessous de Cg sur les intervalles [1;0[ et ]3,5;4].

L’ensemble des solutions est donc S=[1;0[]3,5;4].