Résoudre une équation avec une fonction

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions
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Résoudre une équation avec une fonction

FB_Bac_98617_MatT_S_012

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Rappels de cours

1Solution exacte et solution approchée d’une équation

 Pour résoudre des équations du type est un polynôme de degré 2 (c’est-à-dire de type ), on commence par calculer le discriminant . Il permet de déterminer le nombre de solutions et leurs valeurs (si l’équation admet des solutions). (>dépliant,VI)

 Lorsqu’il s’agit d’équations du type (ou ) où est une fonction quelconque, il n’y a pas de formule donnant les valeurs exactes des solutions. Pour obtenir des valeurs approchées, on utilise des méthodes décrites dans l’énoncé de l’exercice.

Cependant, on dispose d’un théorème assurant l’existence éventuelle de solutions.

2Théorème d’existence

AThéorème des valeurs intermédiaires

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle , et soit et deux réels de . Pour tout réel compris entre et , il existe un réel compris entre et tel que .

Cela signifie que l’équation admet au moins une solution (le nombre ) comprise entre et .

BCorollaire (théorème de la bijection)

Si, en plus des hypothèses précédentes, est strictement monotone (c’est-à-dire strictement croissante ou strictement décroissante), alors le réel c est unique. L’équation admet donc dans ce cas une et une seule solution.

3Utilité d'un tableau de variation

La lecture d’un tableau de variation fournit les éléments permettant d’appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ou son corollaire, par des considérations de signe.

Méthode

Déterminer la solution d’une équation du type

1. Démontrer que l’équation admet une solution unique sur l’intervalle .

2. En donner un encadrement du type .

Conseils

1. Posez et examinez .

2. Pour l’encadrement demandé, il suffit d’utiliser la touche « SOLVE » de la calculatrice.

Solution

1. Posons . Alors pour tout de , on a :

. Sur , et donc .

Le tableau de variation de est le suivant :


On peut appliquer le théorème de la bijection. Le tableau de variation montre que f est strictement décroissante sur . Comme et , il existe un unique nombre solution de l’équation .

remarque Ce résultat montre que la courbe de la fonction cosinus coupe une et une seule fois la droite d’équation sur I.

2. La calculatrice fournit donc .

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