Résoudre une équation du premier degré

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral


Rappels de cours

1 Résoudre une équation

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par x) vérifiant l’équation.

On obtient ainsi la ou les solutions de l’équation.

2 Équation produit

► Une équation produit est une équation de la forme (ax b)(cx + d) = 0, où a, b, c et d sont donnés et x est l’inconnue.

► Pour la résoudre, on utilise le théorème suivant :

théorèmeSi un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Ou encore, si A×B=0, alors A=0 ou B=0.

Méthodes

Résoudre une équation du type ax + b = 0

Résoudre les équations suivantes :

a. 3x+1=0b. 5x=0c. 52(2x+3)+[42(x+2)]=9

conseils

Si aucune factorisation n’est possible, alors il peut être utile de :

1. développer les produits dans les deux membres ;

2. regrouper les termes relatifs à l’inconnue dans un membre et les termes connus dans l’autre membre ;

3. simplifier afin d’obtenir une équation de la forme ax=b.

Si a0, alors l’équation admet x=ba pour solution.

Solution

a. 3x+1=0 ou encore 3x=1, soit x=13.

b. La solution est x=0.

c. Développons puis réduisons :

5+4x6+42x4=9

4x2x=95+6, soit 2x=10.

Important ! 
N’oubliez pas de vérifier les résultats obtenus !

Conclusion : 5 est la solution de l’équation.

Résoudre une équation produit

Résoudre les équations suivantes :

a. (3x+4)(2x+9)=0

b. (5x3)24x(5x3)=0

c. (7x+9)2(2x3)2=0

conseils

Factorisez afin d’obtenir un produit de facteurs nul.

Solution

a. Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul, donc : 3x+4=0, soit x=43, ou bien 2x+9=0, soit x=92.

Conclusion : les solutions de l’équation sont 92 et 43.

b. Nous pouvons mettre (5x3) en facteur :(5x3)[(5x3)4x]=0(5x3)(x3)=0

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Donc : 5x3=0, soit x=35,

ou bien x3=0, soit x=3.

Conclusion : les solutions de l’équation sont 35 et 3.

c. En utilisant l’identité remarquable a2b2=(a+b)(ab) avec a = – 7x + 9 et b = 2x – 3, on obtient :

[(7x+9)+(2x3)][(7x+9)(2x3)]=0

ou encore, après simplification, (5x+6)(9x+12)=0.

Puisque nous avons un produit de facteurs nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

Donc : 5x+6=0, soit x=65,

ou bien 9x+12=0, soit x=43.

Conclusion : les solutions de l’équation sont donc 65 et 43.