Résoudre une inéquation du premier degré

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser le calcul littéral


Rappels de cours

1 Solutions d’une inéquation

► Résoudre une inéquation, c’est trouver la ou les valeurs de l’inconnue (souvent désignée par x) vérifiant l’inéquation.

On obtient ainsi la ou les solutions de l’inéquation.

► On peut représenter l’ensemble des solutions sur une droite graduée.

2 Règles

► On peut ajouter ou soustraire un même nombre à chacun des membres d’une inéquation.

► On peut multiplier ou diviser chacun des membres d’une inéquation par un même nombre non nul.

attention ! Si ce nombre est positif, on conserve le sens de l’inégalité. Si ce nombre est négatif, on change le sens de l’inégalité.

Méthodes

Résoudre une inéquation

Résoudre l’inéquation suivante :

3(2x+3)8(75x)

conseils

1. Après simplification de chaque membre de l’inéquation, isolez les termes relatifs à l’inconnue dans un membre.

2. Simplifiez afin d’obtenir une inéquation de la forme ax<b (ou ax>b), les inégalités pouvant être aussi au sens large.

3. Concluez par une phrase ou à l’aide d’une droite graduée.

Solution

Développons chaque membre de l’inéquation : 6x+987+5x.

Isolons l’inconnue : 6x5x19 ou encore 11x8.

Divisons chaque membre de l’inégalité par 11 en changeant le sens de l’inégalité, on obtient : x811, soit x811.

Conclusion : les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 811. Ils sont représentés par la partie hachurée :

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Reconnaître des inéquations ayant les mêmes solutions

Parmi les trois inéquations suivantes, deux (et deux seulement) admettent les mêmes solutions. Quelle est l’inéquation qui n’admet pas les mêmes solutions que les deux autres ?

a. 5x2+52<x220

b. x157>6,5

c. 5x×102+9+0,3x<9,375+4,5x15

Solution

a. Multiplions par 2 chaque membre de l’inéquation.

Nous obtenons 5x+5<x40.

Isolons l’inconnue : 5xx<405, soit 6x<45.

Nous obtenons x>456 ou encore x>7,5.

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs à 7,5.

b. Ajoutons 7 à chaque membre de l’inéquation.

Nous obtenons x15>6,5+7 ou encore x15>0,5.

Multiplions par 15 chaque membre de l’inéquation.

Nous obtenons x>7,5.

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres supérieurs à 7,5.

c. Nous avons 0,05x+9+0,3x<9,375+0,3x ou encore, après simplification : 0,05x<9,3759, soit x<0,3750,05.

Les solutions de l’inéquation sont tous les nombres inférieurs à 7,5.

Conclusion : l’inéquation c n’admet pas les mêmes solutions que les autres ; c’est l’intruse cherchée.