Sens de variation d'une fonction

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Classe(s) : 1re ST2S - 1re STI2D - 1re STL - 1re STMG | Thème(s) : Dérivation

Le signe de la dérivée comme conséquence du sens de variation de la fonction

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f est croissante sur I, alors f(x)0 pour tout x de I.

• Si f est décroissante sur I, alors f(x)0 pour tout x de I.

• Si f est constante sur I, alors f(x)=0 pour tout x de I.

Le sens de variation d’une fonction comme conséquence du signe de la dérivée

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f(x)>0 pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.

• Si f(x)<0 pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I.

• Si f(x)=0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.

EXEMPLE

On considère la fonction f définie sur [–2, 3] par :

f(x) = x3 – 3x2 + 1.

• Pour tout x appartenant à [0, 3], f′(x) = 3x2 – 3(2x) + 0, f′(x) = 3x2 – 6x, f′(x) = 3x(x – 2).

• Les solutions de l’équation f′(x) = 0 sont 0 et 2. x – 2 ≥ 0 équivaut à x ≥ 2.

Lorsque x varie dans [0, 3], le signe de f′(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :

Tableau de 4 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : x; –2; ; 0; ; 2; ; 3; Ligne 2 : 3x; ; –; 0; +; ; +; ; Ligne 3 : x – 2; ; –; ; –; 0; +; ; Ligne 4 : Signe de f′(x) = 3x (x – 2); ; +; 0; –; 0; +; ;

On peut alors remplir le tableau de variation suivant :

Tableau de 3 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : x; –2; ; 0; ; 2; ; 3; Ligne 2 : Signe de f′(x); 0; +; 0; –; 0; +; ; Ligne 3 : Variation de f; –19; ; 1; ; –3; ; 1;

Minimums et maximums

La lecture du tableau de variation ou l’observation de la représentation graphique d’une fonction f permet de déterminer ses éventuels extremums (minimum m et maximum M) sur son intervalle de définition I. Si m et M existent, alors, pour tout x de l’intervalle I, on a : m f(x)M.

Théorème

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum (ou un minimum) en un point a distinct des extrémités de I, alors f’ (a) = 0.

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