La notion de dérivée est essentielle en analyse. Elle permet d'étudier les variations d'une fonction sur un intervalle, uniquement en étudiant le signe de la dérivée de cette fonction.
I Étude des variations d'une fonction
1 Définitions
Étudier le sens de variation d'une fonction consiste à déterminer si la fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné I.
Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle
2 Sens de variation et signe de la dérivée
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
• f est croissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est positive ou nulle.
• f est décroissante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) est négative ou nulle.
• f est constante sur I si et seulement si pour tout x de I, f ′(x) = 0.
À noter
Le signe de la dérivée permet de déterminer le sens de variation de f, mais les variations de f ne donnent pas forcément le signe de f.
Si dans ce théorème les inégalités sont strictes, alors f est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.
Remarque : Sur un intervalle I, la dérivée f ′ d'une fonction f peut changer plusieurs fois de signe. Dans ce cas, on est amené à partager l'intervalle I en plusieurs intervalles tels que f ′ ait un signe constant sur chacun d'eux.
II Sens de variation et comparaison
Dire qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie qu'elle conserve l'ordre, c'est-à-dire que quels que soient les nombres a et b de I :
si a ⩽ b, alors f(a) ⩽ f(b)
Dire qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I signifie qu'elle inverse l'ordre, c'est-à-dire que quels que soient les nombres a et b de I :
si a ⩽ b, alors f(a) ⩾ f(b)
Méthode
Étudier un sens de variation
Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur ℝ par :
f(x) = x3 + 2x2 – 7x – 1.
conseils
Étape 1. On détermine la fonction f ′ dérivée de f sur ℝ .
Étape 2. On étudie le signe de f ′(x) sur ℝ.
Étape 3. On résume les résultats obtenus dans un tableau de variations.
solution
Étape 1. f est définie sur ℝ, f est une fonction polynôme de degré 3, f est donc dérivable sur ℝ, et pour tout x ∈ ℝ :
f ′(x) = 3x2 + 4x – 7.
Étape 2. Étudions le signe de f ′(x).
f ′(x) est un polynôme du second degré, on détermine donc ses racines pour étudier son signe.
Calculons le discriminant : Δ = 42 – 4 × 3 × (–7) = 16 + 84 = 100.
f ′(x) a donc deux racines : et .
À noter
On sait qu'un polynôme du second degré est du signe du coefficient de x2 à l'extérieur de ses racines.
On en déduit que f ′(x) est positive sur et négative sur .
f est donc croissante sur et sur [1 ; +∞[et décroissante sur .
Étape 3. Résumons ces résultats dans un tableau de variations.
