Sens de variation d'une fonction (1re, Tle)

Le signe de la dérivée comme conséquence du sens de variation de la fonction

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f est croissante sur I, alors $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ pour tout x de I.

• Si f est décroissante sur I, alors $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$ pour tout x de I.

• Si f est constante sur I, alors $f^{\prime }\left(x\right)=0$ pour tout x de I.

Le sens de variation d'une fonction comme conséquence du signe de la dérivée

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si $f^{\prime }\left(x\right)>0$ pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.

• Si $f^{\prime }\left(x\right)0$ pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I.

• Si $f^{\prime }\left(x\right)=0$ pour tout x de I, alors f est constante sur I.

EXEMPLE

On considère la fonction f définie sur [–2, 3] par :

f(x) = x³ – 3x² + 1.

• Pour tout x appartenant à [0, 3], f′(x) = 3x² – 3(2x) + 0, f′(x) = 3x² – 6x, f′(x) = 3x(x – 2).

• Les solutions de l'équation f′(x) = 0 sont 0 et 2. x – 2 ≥ 0 équivaut à x ≥ 2.

Lorsque x varie dans [–2, 3], le signe de f′(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :

On peut alors remplir le tableau de variation suivant :

Minimums et maximums

La lecture du tableau de variation ou l'observation de la représentation graphique d'une fonction f permet de déterminer ses éventuels extremums (minimum m et maximum M) sur son intervalle de définition I. Si m et M existent, alors, pour tout x de l'intervalle I, on a : $m\le f\left(x\right)\le \text{M}$.

Théorème

Si f est dérivable sur l'intervalle I et admet un maximum (ou un minimum) en un point a distinct des extrémités de I, alors f'(a) = 0.