Première générale Maths (tronc commun) Modèles discrets et suites numériques

Comme pour les fonctions, on peut étudier les variations d’une suite, qu’elle soit définie par récurrence ou de manière explicite.

IDéfinitions

Une suite u est :

croissante si et seulement si pour tout entier naturel n, $u (n + 1) \geq u (n)$ ;

décroissante si et seulement si pour tout entier naturel n, $u (n + 1) \leq u (n)$ .

On dit qu’une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

À noter

On définit aussi les suites strictement monotones à l’aide d’inégalités strictes.

IIVariations des suites arithmétiques

Théorème : Soit une suite arithmétique u de raison un réel r :

si $r > 0$ , alors la suite u est strictement croissante ;

si $r < 0$ , alors la suite u est strictement décroissante.

Un phénomène modélisé par une suite arithmétique a une croissance linéaire.

IIIVariations des suites géométriques

Théorème : Soit une suite géométrique à termes strictement positifs u de raison un réel $q > 0$ :

si $q > 1$ alors la suite u est strictement croissante ;

si $q < 1$ alors la suite u est strictement décroissante.

Un phénomène modélisé par une suite géométrique à termes strictement positifs a une croissance exponentielle.

Méthodes

1 Étudier le sens de variation de suites arithmétique et géométrique à termes strictement positifs

Déterminer le sens de variation des suites u et v telles que, pour tout entier naturel n :

$u (n) = - 2 n + 1$ et $v (n) = \frac{2}{5^{n}}$ .

Conseils

Vérifiez qu’il s’agit de suites arithmétiques ou géométriques.

Déterminez leurs raisons et en déduire leurs sens de variation.

Solution

La suite u est une fonction affine de n, elle est donc arithmétique et sa raison vaut −2. La suite u est ainsi décroissante.

Pour tout entier naturel n, $v_{n} = 2 \times {(\frac{1}{5})}^{n}$ et $0 < \frac{1}{5} < 1$ , donc v est une suite géométrique à termes strictement positifs de raison strictement positive et strictement inférieure à 1, la suite v est donc strictement décroissante.

2 Comparaison de deux types de croissances

On considère deux placements d’un capital de 1 000 euros.

Le premier, à intérêts simples, rapporte 31 euros par an.

Le deuxième, à intérêts composés, a un taux de 3 %.

À l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, déterminer le nombre d’années nécessaires pour que le deuxième placement devienne plus intéressant.

Conseils

Déterminez les expressions des deux suites modélisant les deux sortes de placements et calculez les premiers termes de chacune.

Solution

Pour le premier modèle, le capital acquis après $n$ année est $C_{1} (n) = 1 000 + 31 n$ et pour le deuxième, $C_{2} (n) = 1 000 \times {1,03}^{n}$ .

On a alors le tableau suivant en arrondissant au centime d’euro :

$C_{1} (0)$	1 000	$C_{2} (0)$	1 000
$C_{1} (1)$	1 031	$C_{2} (1)$	1 030
$C_{1} (2)$	1 062	$C_{2} (2)$	1 060,90
$C_{1} (3)$	1 093	$C_{2} (3)$	1 092,73
$C_{1} (4)$	1 124	$C_{2} (4)$	1 125,51

Il faudra donc attendre 4 ans pour que le deuxième placement soit plus rentable.

Sens de variations des suites

IDéfinitions

À noter

IIVariations des suites arithmétiques

IIIVariations des suites géométriques

Méthodes

1 Étudier le sens de variation de suites arithmétique et géométrique à termes strictement positifs

Conseils

Solution

2 Comparaison de deux types de croissances

Conseils

Solution

Pour lire la suite