Séries statistiques à deux variables (1re, Tle)

On observe que, dans certains cas, il semble exister un lien entre les deux caractères d'une série statistique à deux variables, par exemple entre le poids et la taille d'un nouveau né, entre les maxima de tension artérielle et l'âge d'une population, entre la consommation et la vitesse d'une voiture... Il est alors intéressant d'étudier simultanément deux caractères d'une même population. Nous pouvons alors présenter les résultats sous forme de tableau ou de graphique.

A Tableau de données

EXEMPLE

Le tableau suivant donne le nombre d'habitants d'une ville nouvelle entre 1990 et 2020.

B Nuage de points

Le plan étant muni d'un repère, nous pouvons associer au couple (x_i , y_i) de la série statistique double le point M_i de coordonnées x_i et y_i.

L'ensemble des points M_i obtenus constitue le nuage de points représentant la série statistique.

EXEMPLE

Avec l'exemple du ➀ A, on obtient le nuage de points ci-contre.

Dans cet exemple, on peut penser, qu'en première approximation, une droite peut être tracée « le plus près possible » des sept points du nuage. C'est le problème de l'ajustement affine.

C Point moyen

Lorsqu'on pense pouvoir réaliser un ajustement affine d'un nuage, il peut sembler intéressant, avant de tracer la droite d'ajustement, de placer le point G dont l'abscisse est la moyenne $\overline{x}$ des abscisses x_i et l'ordonnée, la moyenne $\overline{y}$ des ordonnées y_i.

DÉFINITION

On appelle point moyen d'un nuage de n points M_i de coordonnées (x_i, y_i) le point G de coordonnées : $x_G=\overline{x}$ et $y_G=\overline{y}$.

EXEMPLE

On vérifie que, dans l'exemple du paragraphe ➁ A, le point moyen G a pour coordonnées : (15, 32). Le point G a été placé sur la figure du paragraphe ➁ B.

D Ajustement affine par une méthode graphique

EXEMPLE

On reprend le nuage de points de l'exemple du paragraphe ➁ A. On se propose de faire des prévisions pour le nombre d'habitants de la ville nouvelle à partir des données relevées entre 1990 et 2020.

Un moyen d'y parvenir est de tracer « au jugé » une droite passant le plus près possible des points du nuage et d'admettre que les nombres d'habitants y_i et les rangs de l'année x_i sont liés par l'équation y = ax + b de .

On peut, par exemple, prendre pour droite la droite passant par le point moyen G et par le point A(5, 21). Une équation de cette droite est y = 1,1x + 15,5. La droite est tracée sur la figure au ➁ B.

En remplaçant x par 35 dans l'équation de , on obtient y = 54. On peut estimer à 54 000 le nombre d'habitants en 1990 + 35 = 2025.

E Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

EXEMPLE

Une entreprise fabriquant des équipements pour l'automobile s'intéresse au lien entre ses dépenses publicitaires et son chiffre d'affaires : elle recueille les données suivantes, exprimées en millions d'euros, ­portant sur cinq périodes où les dépenses publicitaires sont notées x₁, x₂, …, x₅ et les chiffres d'affaires y₁, y₂, …, y₅.

Représentons ces données par cinq points M_i dans un repère où des dépenses publicitaires x_i sont en abscisses et les chiffres d'affaires y_i en ordonnées. Le point moyen du nuage est G(3,1 ; 65,8).

La méthode des moindres carrés consiste à prendre pour droite d'ajustement du nuage de points une droite telle que la somme des carrés P₁M₁² + … + P₅M₅² soit minimale.

Une équation de la droite , aussi appelée droite de régression de y en x s'obtient directement avec une calculatrice ou un tableur. En arrondissant les coefficients à 10^–3, on obtient dans cet exemple y = 12,768x + 26,219.

F Déterminer une équation de la droite de régression à l'aide d'une calculatrice

EXEMPLE

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires du e-commerce en France entre 2011 et 2017. Il s'exprime en milliard d'euros et est arrondi au dixième.

On souhaite utiliser une calculatrice pour ajuster le nuage des points de coordonnées (x_i, y_i) à l'aide d'une droite d'équation y = ax + b, puis exploiter cette équation pour effectuer une prévision.

Procédure sur une calculatrice CASIO

Se placer dans le menu . Effacer le contenu des listes par . Entrer les valeurs x_i en List 1 et les valeurs y_i en List 2. Régler les colonnes pour le calcul par puis 2Var X List : List 1 ; 2Var Y List : List 2 ; 2 Var Freq : 1 ; .

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par .

Procédure sur une calculatrice TI

Se placer dans le menu de statistique par la touche . Effacer les listes par 4 : EffListe L₁, L₂ (les noms des listes L₁ et L₂ sont au clavier). Entrer les données par 1 : Modifier… puis saisir les x_i en L₁ et les y_i en L₂.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par CALC 4 :RegLin(ax+b) Xliste : L₁ , Yliste : L₂ .