Fiche de révision

Séries statistiques à deux variables (1re, Tle)

Contenu

On observe que, dans certains cas, il semble exister un lien entre les deux caractères d'une série statistique à deux variables, par exemple entre le poids et la taille d'un nouveau né, entre les maxima de tension artérielle et l'âge d'une population, entre la consommation et la vitesse d'une voiture... Il est alors intéressant d'étudier simultanément deux caractères d'une même population. Nous pouvons alors présenter les résultats sous forme de tableau ou de graphique.

A Tableau de données

EXEMPLE

Le tableau suivant donne le nombre d'habitants d'une ville nouvelle entre 1990 et 2020.

Tableau de 3 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Année; 1990; 1995; 2000; 2005; 2010; 2015; 2020; Ligne 2 : Rang de l'année : xi; 0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; Ligne 3 : Nombre d'habitants en milliers : yi; 18; 21; 25; 30; 36; 44; 50;

B Nuage de points

Le plan étant muni d'un repère, nous pouvons associer au couple (xi , yi) de la série statistique double le point Mi de coordonnées xi et yi.

L'ensemble des points Mi obtenus constitue le nuage de points représentant la série statistique.

EXEMPLE

Avec l'exemple du ➀ A, on obtient le nuage de points ci-contre.

Dans cet exemple, on peut penser, qu'en première approximation, une droite peut être tracée « le plus près possible » des sept points du nuage. C'est le problème de l'ajustement affine.

Maths_C03_01

C Point moyen

Lorsqu'on pense pouvoir réaliser un ajustement affine d'un nuage, il peut sembler intéressant, avant de tracer la droite d'ajustement, de placer le point G dont l'abscisse est la moyenne x¯ des abscisses xi et l'ordonnée, la moyenne y¯ des ordonnées yi.

DÉFINITION

On appelle point moyen d'un nuage de n points Mi de coordonnées (xi, yi) le point G de coordonnées : xG=x¯ et yG=y¯.

EXEMPLE

On vérifie que, dans l'exemple du paragraphe ➁ A, le point moyen G a pour coordonnées : (15, 32). Le point G a été placé sur la figure du paragraphe ➁ B.

D Ajustement affine par une méthode graphique

EXEMPLE

On reprend le nuage de points de l'exemple du paragraphe ➁ A. On se propose de faire des prévisions pour le nombre d'habitants de la ville nouvelle à partir des données relevées entre 1990 et 2020.

Un moyen d'y parvenir est de tracer « au jugé » une droite passant le plus près possible des points du nuage et d'admettre que les nombres d'habitants yi et les rangs de l'année xi sont liés par l'équation yaxb de .

On peut, par exemple, prendre pour droite la droite passant par le point moyen G et par le point A(5, 21). Une équation de cette droite est y = 1,1x + 15,5. La droite est tracée sur la figure au ➁ B.

En remplaçant x par 35 dans l'équation de , on obtient y = 54. On peut estimer à 54 000 le nombre d'habitants en 1990 + 35 = 2025.

On peut choisir une autre droite...

E Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

EXEMPLE

Une entreprise fabriquant des équipements pour l'automobile s'intéresse au lien entre ses dépenses publicitaires et son chiffre d'affaires : elle recueille les données suivantes, exprimées en millions d'euros, ­portant sur cinq périodes où les dépenses publicitaires sont notées x1, x2, …, x5 et les chiffres d'affaires y1, y2, …, y5.

Tableau de 2 lignes, 6 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Dépenses publicitaires : xi; 0,5; 2,0; 2,9; 4,5; 5,6; Ligne 2 : Chiffre d'affaires : yi; 35; 37; 75; 92; 90;

Représentons ces données par cinq points Mi dans un repère où des dépenses publicitaires xi sont en abscisses et les chiffres d'affaires yi en ordonnées. Le point moyen du nuage est G(3,1 ; 65,8).

Vérifiez-le !

14628_Math_27_stdi

La méthode des moindres carrés consiste à prendre pour droite d'ajustement du nuage de points une droite telle que la somme des carrés P1M12 + … + P5M52 soit minimale.

D'où le nom : « moindres carrés ».

Une équation de la droite , aussi appelée droite de régression de y en x s'obtient directement avec une calculatrice ou un tableur. En arrondissant les coefficients à 10–3, on obtient dans cet exemple y = 12,768x + 26,219.

F Déterminer une équation de la droite de régression à l'aide d'une calculatrice

EXEMPLE

Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires du e-commerce en France entre 2011 et 2017. Il s'exprime en milliard d'euros et est arrondi au dixième.

Tableau de 3 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Année; 2011; 2012; 2013; 2014; 2015; 2016; 2017; Ligne 2 : Rang de l'année : xi; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; Ligne 3 : Chiffre d'affaires du e-commerce : yi; 36,5; 43,6; 49,5; 55,0; 62,9; 71,5; 81,7;

On souhaite utiliser une calculatrice pour ajuster le nuage des points de coordonnées (xiyi) à l'aide d'une droite d'équation y = axb, puis exploiter cette équation pour effectuer une prévision.

Procédure sur une calculatrice CASIO

Se placer dans le menu Image dont le contenu est Statistique; Fin de l'image. Effacer le contenu des listes par Image dont le contenu est DEL-ALL; Fin de l'image. Entrer les valeurs xi en List 1 et les valeurs yi en List 2. Régler les colonnes pour le calcul par Image dont le contenu est CALC; Fin de l'imageImage dont le contenu est SET; Fin de l'image puis 2Var X List : List 1 ; 2Var Y List : List 2 ; 2 Var Freq : 1 ; Image dont le contenu est EXE; Fin de l'image.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par Image dont le contenu est REG; Fin de l'imageImage dont le contenu est ax+b; Fin de l'image.

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

Procédure sur une calculatrice TI

Se placer dans le menu de statistique par la touche Image dont le contenu est stats; Fin de l'image. Effacer les listes par Image dont le contenu est stats; Fin de l'image 4 : EffListe L1, L2 (les noms des listes L1 et L2 sont au clavier). Entrer les données par Image dont le contenu est stats; Fin de l'image 1 : Modifier puis saisir les xi en L1 et les yi en L2.

Afficher les résultats de la « régression linéaire » (ajustement affine) par Image dont le contenu est stats; Fin de l'image CALC 4 :RegLin(ax+b) Xliste : L1 , Yliste : L2 Image dont le contenu est Calculer; Fin de l'image.

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

#exos

Entraînement à l'évaluation

foucherconnect.fr/20pbpro105

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner