A Moyenne et écart type

1^er cas : la population est donnée par la liste de ses n éléments x₁, x₂, …, x_i, …, x_n.

2^e cas : la population est donnée par le tableau des effectifs n_i de chacune des p classes x_i.

3e cas : la population est donnée par le tableau des effectifs ni de chacune des p classes [ai, bi [ de centre $c_i=\frac{a_i+b_i}{2}$.

Dans tous les cas l'écart type est $\sigma =\sqrt{V}$.

EXEMPLES

• Les 31 étudiants d'une formation professionnelle ont obtenu les notes suivantes à un contrôle de mathématiques.

On est dans le 2^e cas. Vérifier avec votre calculatrice que la valeur approchée arrondie à 10 ^–1 de la moyenne est $\overline{x}\approx \mathrm{9,9}$ et que la valeur approchée arrondie à 10^–1 de l'écart type est σ ≈ 1,5.

• On effectue une enquête auprès de 120 grandes surfaces afin de déterminer le prix moyen d'une lampe solaire de 8 leds. On relève ces résultats dans le tableau suivant :

On fait l'approximation suivante : dans chaque classe, tous les éléments sont situés au centre de la classe.

On cherche le prix moyen $\overline{x}$ de la lampe solaire.

On est dans le 3^e cas, avec c₁ = 22,5, c₂ = 27,5 …, c₅ = 42,5. Vérifier avec votre calculatrice que $\overline{x}=30$.

B Médiane et interquartile

Dans une série statistique de n termes classés par ordre croissant, la médiane Me est :

le terme du milieu, si n est impair ;

la demi-somme des deux termes du milieu, si n est pair.

Q₁ est le premier quartile ; Q₃ est le troisième quartile.

L'écart interquartile est Q₃ – Q₁.

EXEMPLES

• On donne la série statistique : 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44.

Le nombre de termes de cette série statistique est impair. La médiane est le terme du milieu, Me = 40.

• On donne la série statistique : 1, 2, 2, 4, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 8, 9.

Le nombre de termes de cette série statistique est pair. La médiane est la demi-somme des deux termes du milieu, $Me=\frac{5+8}{2}=\mathrm{6,5}$.

C Représentation graphique : diagramme en boîte

Les diagrammes en boîtes résument graphiquement une série statistique en partageant les valeurs de la série suivant des segments correspondant à des quartiles (ou à des déciles : voir le paragraphe D ci-après).

EXEMPLE

Pour la série statistique représentée, l'étendue est 30 – 21 = 9. La médiane est égale à 23. Le premier et le troisième quartiles sont respectivement égaux à 22 et à 24.

D Décile et interdécile

Dans une série statistique dont les termes sont classés par ordre croissant :

le premier décile D₁ est le plus petit terme tel qu'au moins 10 % des données soient inférieures ou égales à D₁ ;

les deuxième, troisième, …, neuvième déciles D₂, D₃, …, D₉ sont définis de même en remplaçant 10 % par 20 %, 30 %, …, 90 % ;

l'intervalle interdécile est [D₁, D₉] ;

l'écart interdécile est D₉ – D₁.

E Utiliser la calculatrice pour les séries statistiques à une variable

EXEMPLE

Une usine d'agroalimentaire produit en grande quantité des plaquettes de margarine. On prélève 60 plaquettes pour vérification de la masse. Les résultats sont donnés ci-dessous.

Entrer les mesures dans la calculatrice, puis afficher l'écran de calcul des statistiques à une variable.

Procédure sur une calculatrice CASIO

 Édition des données :

Effacement des listes par .

Sélectionner la colonne puis entrer les valeurs x_i en colonne List 1 et les effectifs n_i en colonne List 2.

 Calculs statistiques :

Régler les colonnes par puis :

1 Var X List : List 1

1 Var Freq : List 2

.

Affichage des résultats par .

La moyenne correspond à $\overline{x}$

et l'écart type à σx.

La médiane est donnée par Med et les quartiles par Q1 et Q3

(attention, les quartiles sont parfois l'objet d'interpolations).

Procédure sur une calculatrice Texas Instruments

 Édition des données :

Effacement des listes par 4 : EffListe L₁ , L₂

(on obtient L₁ et L₂ par au clavier).

Saisie des données par :

1:Edite…

On entre les valeurs x_i en colonne L1 et les effectifs n_i en colonne L2.

 Calculs statistiques :

Obtention des résultats par 1 : Stats 1-Var L₁, L₂.

La moyenne correspond à $\overline{x}$ et l'écart type à σx.

La médiane est donnée par Méd et les quartiles par Q1 et Q3 (attention, les quartiles sont parfois l'objet d'interpolations).

1. La masse moyenne $\overline{x}$ (arrondie au gramme) est $\overline{x}$ ≈ 264.

2. L'écart type, qui correspond à la lettre grecque σ, est noté, selon les calculatrices, ou .

Vérifier que la valeur de l'écart type σ fourni par votre calculatrice (arrondir au gramme) est σ ≈ 2.

3. Vérifier que le pourcentage des mesures comprises dans l'intervalle $[\overline{x}-\sigma ,\overline{x}+\sigma ]$ est 75 %.