Fiche de révision

Séries statistiques à une variable (2de)

Contenu

A Moyenne et écart type

1er cas : la population est donnée par la liste de ses n éléments x1 , x2 , …, xi  , …, xn.

2e cas : la population est donnée par le tableau des effectifs ni de chacune des p classes xi.

3e cas : la population est donnée par le tableau des effectifs ni de chacune des p classes [aibi [ de centre ci=ai+bi2.

Tableau de 4 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ; Moyenne x¯; Variance V; Ligne 2 : 1er cas; x¯=x1+x2+…+xnn; V=x12+x22+…xn2n−x¯2; Ligne 3 : 2e cas; x¯=n1x1+…+npxpn; V=n1x12+…+npxp2n−x¯2; Ligne 4 : 3e cas; x¯=n1c1+…+npcpn; V=n1c12+…+npcp2n−x¯2;

Dans tous les cas l'écart type est σ=V.

EXEMPLES

• Les 31 étudiants d'une formation professionnelle ont obtenu les notes suivantes à un contrôle de mathématiques.

Remarque

En baccalauréat professionnel, pour la moyenne et l'écart type, on demande seulement les résultats obtenus avec une calculatrice ou un tableur. Voir le paragraphe ➁.

Tableau de 2 lignes, 9 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Notes : xi; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; Ligne 2 : Effectif : ni; 1; 5; 4; 12; 5; 3; 0; 1;

On est dans le 2e cas. Vérifier avec votre calculatrice que la valeur approchée arrondie à 10 –1 de la moyenne est x¯9,9 et que la valeur approchée arrondie à 10–1 de l'écart type est σ ≈ 1,5.

• On effectue une enquête auprès de 120 grandes surfaces afin de déterminer le prix moyen d'une lampe solaire de 8 leds. On relève ces résultats dans le tableau suivant :

Tableau de 6 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : Prix de la lampe en euros; Nombre de grandes surfaces : ni; Ligne 2 : [20, 25[; 24; Ligne 3 : [25, 30[; 32; Ligne 4 : [30, 35[; 48; Ligne 5 : [35, 40[; 12; Ligne 6 : [40, 45[; 4;

On fait l'approximation suivante : dans chaque classe, tous les éléments sont situés au centre de la classe.

On cherche le prix moyen x¯ de la lampe solaire.

On est dans le 3e cas, avec c1 = 22,5, c2 = 27,5 …, c5 = 42,5. Vérifier avec votre calculatrice que x¯=30.

B Médiane et interquartile

Dans une série statistique de n termes classés par ordre croissant, la médiane Me est :

le terme du milieu, si n est impair ;

la demi-somme des deux termes du milieu, si n est pair.

12935_Maths_83_stdi

Q1 est le premier quartile ; Q3 est le troisième quartile.

L'écart interquartile est Q3Q1.

EXEMPLES

• On donne la série statistique : 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44.

Le nombre de termes de cette série statistique est impair. La médiane est le terme du milieu, Me = 40.

• On donne la série statistique : 1, 2, 2, 4, 4, 5, 8, 8, 8, 8, 8, 9.

Le nombre de termes de cette série statistique est pair. La médiane est la demi-somme des deux termes du milieu, Me=5+82=6,5.

C Représentation graphique : diagramme en boîte

Les diagrammes en boîtes résument graphiquement une série statistique en partageant les valeurs de la série suivant des segments correspondant à des quartiles (ou à des déciles : voir le paragraphe D ci-après).

EXEMPLE

12049_Maths_01_02

Pour la série statistique représentée, l'étendue est 30 – 21 = 9. La médiane est égale à 23. Le premier et le troisième quartiles sont respectivement égaux à 22 et à 24.

D Décile et interdécile

Dans une série statistique dont les termes sont classés par ordre croissant :

le premier décile D1 est le plus petit terme tel qu'au moins 10 % des données soient inférieures ou égales à D1 ;

les deuxième, troisième, …, neuvième déciles D2, D3, …, D9 sont définis de même en remplaçant 10 % par 20 %, 30 %, …, 90 % ;

l'intervalle interdécile est [D1, D9] ;

l'écart interdécile est D9D1.

E Utiliser la calculatrice pour les séries statistiques à une variable

EXEMPLE

Une usine d'agroalimentaire produit en grande quantité des plaquettes de margarine. On prélève 60 plaquettes pour vérification de la masse. Les résultats sont donnés ci-dessous.

Tableau de 2 lignes, 10 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : Masse en grammes; 260; 261; 262; 263; 264; 265; 266; 267; 268; Ligne 2 : Effectif; 3; 4; 8; 9; 11; 10; 7; 6; 2;

Entrer les mesures dans la calculatrice, puis afficher l'écran de calcul des statistiques à une variable.

Procédure sur une calculatrice CASIO

 Édition des données :

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

Effacement des listes par Image dont le contenu est MENU; Fin de l'imageImage dont le contenu est Statistique; Fin de l'imageImage dont le contenu est EXE; Fin de l'imageImage dont le contenu est DEL-ALL; Fin de l'image.

Sélectionner la colonne puis entrer les valeurs xi en colonne List 1 et les effectifs ni en colonne List 2.

 Calculs statistiques :

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

Régler les colonnes par Image dont le contenu est CALC; Fin de l'imageImage dont le contenu est SET; Fin de l'image puis :

1 Var X List : List 1

1 Var Freq : List 2

Image dont le contenu est EXE; Fin de l'image.

Affichage des résultats par Image dont le contenu est 1-Var; Fin de l'image.

15485_P3_C01_IM5

La moyenne correspond à x¯

et l'écart type à σx.

La médiane est donnée par Med et les quartiles par Q1 et Q3

(attention, les quartiles sont parfois l'objet d'interpolations).

Procédure sur une calculatrice Texas Instruments

 Édition des données :

Effacement des listes par Image dont le contenu est stats; Fin de l'imageImage dont le contenu est EDIT; Fin de l'image 4 : EffListe Image dont le contenu est entrer; Fin de l'imageL1 , L2

(on obtient L1 et L2 par Image dont le contenu est 2nde; Fin de l'image au clavier).

Saisie des données par :

15485_P3_C01_IM6

1:Edite… Image dont le contenu est ENTER; Fin de l'image

On entre les valeurs xi en colonne L1 et les effectifs ni en colonne L2.

 Calculs statistiques :

Obtention des résultats par Image dont le contenu est stats; Fin de l'imageImage dont le contenu est CALC; Fin de l'image1 : Stats 1-Var Image dont le contenu est entrer; Fin de l'imageL1, L2.

Image dont le contenu est ; Fin de l'image

La moyenne correspond à x¯ et l'écart type à σx.

La médiane est donnée par Méd et les quartiles par Q1 et Q3 (attention, les quartiles sont parfois l'objet d'interpolations).

1. La masse moyenne x¯ (arrondie au gramme) est x¯ ≈ 264.

2. L'écart type, qui correspond à la lettre grecque σ, est noté, selon les calculatrices, Image dont le contenu est σx; Fin de l'image ou Image dont le contenu est σxn; Fin de l'image.

Vérifier que la valeur de l'écart type σ fourni par votre calculatrice (arrondir au gramme) est σ ≈ 2.

3. Vérifier que le pourcentage des mesures comprises dans l'intervalle [x¯σ,x¯+σ] est 75 %.

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