En bref Il peut être compliqué d'effectuer un calcul avec des fractions si ces fractions n'ont pas été simplifiées. La méthode de décompositions en produit de facteurs premiers permet d'obtenir rapidement une fraction irréductible.

IQu'est-­ce qu'une fraction irréductible ?

Une fraction est irréductible lorsqu'elle ne peut plus être simplifiée.

Si les décompositions en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur d'une fraction n'ont plus de facteurs identiques, alors la fraction est irréductible.

Exemple : La décomposition en produit de facteurs premiers de 6 est 2 × 3 et celle de 35 est 5 × 7. Ces deux décompositions n'ont pas de facteurs identiques. La fraction $\frac{6}{35}$ est irréductible.

IISimplifier une fraction à l'aide de décompositions en produit de facteurs premiers

Si on divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction égale.

Pour simplifier une fraction, on cherche les décompositions en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple : Pour simplifier la fraction $\frac{24}{18}$, on décompose 24, puis 18.

On obtient :

$\begin{array}{c}\frac{24}{18}=\frac{2\times 12}{2\times 9}\\ =\frac{2\times 2\times 6}{2\times 3\times 3}\\ =\frac{2\times 2\times 2\times 3}{2\times 3\times 3}\end{array}$

On divise le numérateur et le dénominateur par 2, puis par 3.

On obtient :

$\frac{24}{18}=\frac{2\times 2}{3}=\frac{4}{3}$.

Méthode

Rendre une fraction irréductible

On veut rendre la fraction $\frac{30}{36}$ irréductible.

1 Décomposer 30 et 36 en produit de facteurs premiers.

2 On pose $\text{A}=\frac{30}{36}$.

Écrire A sous la forme d'une fraction irréductible.

Conseils

1 30 est un nombre pair et on peut écrire 30 = 2 × 15.

Décompose 15 en observant qu'il est divisible par 3.

Explique pourquoi 36 est divisible par 2 et par 3.

2 Remplace 30 et 36 par leurs décompositions.

Divise alors le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Solution

1 30 est divisible par 2.

On a 30 = 2 × 15 et 15 = 3 × 5.

La décomposition de 30 en produit de facteurs premiers est :

30 = 2 × 3 × 5.

36 est divisible par 2.

On a 36 = 2 × 18 avec 18 = 2 × 9 et 9 = 3 × 3.

La décomposition de 36 en produit de facteurs premiers est :

36 = 2 × 2 × 3 × 3.

2 On remplace 30 et 36 par leur décomposition.

On a $\frac{30}{36}=\frac{2\times 3\times 5}{2\times 2\times 3\times 3}$.

Les deux décompositions contiennent les nombres premiers 2 et 3.

On divise le numérateur et le dénominateur par 2, puis par 3.

On a $\frac{30}{36}=\frac{5}{2\times 3}=\frac{5}{6}$.