L'espérance de la somme de deux variables aléatoires s'obtient facilement à partir des espérances des deux variables. Pour la variance, le calcul n'est simple que si les deux variables sont indépendantes.

I Définition et espérance

Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$, la somme des variables aléatoires X et Y est la variable aléatoire notée $X+Y$ définie par :

pour tout $\text{ω}$ dans $\Omega$, $\left(X+Y\right)\left(\text{ω}\right)=X\left(\text{ω}\right)+Y\left(\text{ω}\right)$

Cette définition s'étend à la somme d'un nombre quelconque n de variables aléatoires $X_1, X_2, \dots , X_n$ définies sur le même univers.

Si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$, alors l'espérance $E\left(X+Y\right)$ de leur somme est :

$E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$

Si X est une variable aléatoire et a un nombre réel, alors :

$E\left(aX\right)=aE\left(X\right)$

On dit que l'espérance est linéaire.

Remarque : On a aussi $E\left(X-Y\right)=E\left(X\right)-E\left(Y\right)$.

II Variance et variables aléatoires indépendantes

Pour toute variable aléatoire X et tout réel a : $V\left(aX\right)=a^{2}V(X)$.

Deux variables aléatoires X et Y, définies sur le même univers muni d'une probabilité P, sont indépendantes si et seulement si la connaissance de la valeur prise par l'une de ces deux variables n'influe pas sur la probabilité que l'autre variable prenne une valeur donnée, autrement dit si, pour tous réels a et b : $P\left(X=a \text{et} Y=b\right)=P\left(X=a\right)\times P\left(Y=b\right).$

Si deux variables aléatoires X et Y définies sur le même univers sont indépendantes, alors leur variance vérifie :

$V\left(X+Y\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)$

Méthode

Calculer l'espérance et la variance de la somme de deux variables aléatoires

On lance deux dés équilibrés, un dé rouge cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et un dé vert à 4 faces numérotées de 1 à 4. On note X₁ le résultat affiché par le dé rouge et X₂ le résultat affiché par le dé vert.

On pose $S=X_1+X_2$.

a. Calculer de deux manières différentes l'espérance de S.

b. Calculer la variance de S.

Conseils

a. Utilisez directement la loi de S, ou bien les espérances de X₁ et X₂ et la linéarité de l'espérance.

b. Justifiez le fait que X₁ et X₂ sont indépendantes et utiliser leur variance.

Solution

a.Méthode 1 – Calcul direct

Par exemple, à l'aide d'un tableau à double entrée, on peut déterminer la loi de S, résumée par le tableau suivant :

D'où son espérance $E\left(S\right)=\frac{1\times 2+2\times 3+3\times 4+\dots +1\times 10}{24}=\frac{144}{24}=6$.

Méthode 2 – Utilisation de la linéarité de l'espérance

$E\left(X_1\right)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}$ et $E\left(X_2\right)=\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{5}{2}$.

$E\left(S\right)=E\left(X_1+X_2\right)=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)=\frac{7}{2}+\frac{5}{2}=6$.

b. Les résultats affichés par les deux dés sont indépendants l'un de l'autre, donc les variables aléatoires X₁ et X₂ sont indépendantes.

Donc $V\left(S\right)=V\left(X_1+X_2\right)=V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)$.

$V\left(X_1\right)=E\left(X_1^2\right)-{\left[E\left(X_1\right)\right]}^2$

$V\left(X_1\right)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}-\frac{49}{4}=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$.

Par la même méthode, on obtient $V\left(X_2\right)=\frac{5}{4}$.

D'où $V\left(S\right)=\frac{35}{12}+\frac{5}{4}=\frac{25}{6}$.

À noter

On peut donc calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire sans en déterminer la loi.