Structure et propriétés des cristaux cubiques

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Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Des édifices ordonnés : les cristaux

La structure microscopique d’un cristal conditionne certaines de ses propriétés macroscopiques, dont sa masse volumique. Pour calculer celle-ci, il faut déterminer quelques caractéristiques de la maille.

I Nombre d’entités par maille

Le réseau cristallin étant la répétition d’une maille élémentaire dans toutes les directions de l’espace, les entités constituant la maille sont pour la plupart partagées avec les mailles voisines : il faut en tenir compte afin de comptabiliser leur nombre effectif dans chaque maille.

Doc1 Réseau cristallin à maille cubique avec localisation de quatre sites

05293_C02_Fig07

Dans l’exemple du document 1, les entités situées :

– au sommet de la maille (1) sont partagées par les huit mailles voisines : elles comptent pour 1/8 par maille ;

– au milieu d’une arête (2) sont partagées par quatre mailles : elles comptent pour 1/4 par maille ;

– au centre d’une face (3) sont partagées par deux mailles : elles comptent pour 1/2 par maille ;

– au centre d’une maille (4) ne sont pas partagées, elles comptent pour 1 entité par maille.

Si on applique ce principe à la maille du chlorure de sodium (doc. 3c de cette fiche), celle-ci comprend : 8×18+6×12 = 4 ions Cl et 12×14+1 = 4 ions Na+. On a donc autant d’ions sodium que d’ions chlorure, ce qui correspond à la formule NaCl. Le cristal ionique est bien électriquement neutre.

Pour une maille cubique simple, le nombre d’entités par maille est de 8×18, soit 1.

II Compacité d’une maille

à noter

Comme les entités sont assimilables à des sphères de rayon r, leur volume est de 43 π r3 (multiplié par le nombre d’entités par maille).

La compacité d’une maille correspond au rapport entre le volume de l’ensemble des entités et le volume de la maille. Plus la compacité est grande, moins la maille comporte de vide. Pour déterminer la compacité d’une structure, il faut calculer :

– le volume occupé par les entités ;

– le volume V de la maille, c’est-à-dire le volume d’un cube de côté a, soit a3.

Appliquons ce calcul au chlorure de sodium, sachant que l’arête de sa maille cubique est a = 556 pm (1 picomètre = 10–12 m), que les ions Cl ont un rayon R+ de 181 pm et que ceux de Na+ ont un rayon R de 102 pm.

Le volume des entités par maille est :

Ventités = 4 × 43 × π × (181 × 10–12)3 + 4 × 43 × π × (102 × 10–12)3 = 1,17 × 10–28 m3.

Le volume de la maille est : Vmaille = (556 × 10–12)3 = 1,72 × 10–28 m3.

D’où une compacité VentitésVmaille  de 0,68 ou 68 %, soit 32 % de vide.

05293_C02_Fig08

Doc2 Disposition des entités dans la maille du chlorure de sodium

III Masse volumique d’une maille

À noter

Pensez à convertir les masses en kg et les volumes en m3.

La masse volumique (ρ) d’une maille est le rapport entre sa masse sur le volume de celle-ci. Elle est exprimée généralement en kg par m3.

La masse d’une maille correspond au nombre d’entités par maille multiplié par la masse de chaque entité. Cette dernière est égale à la masse molaire divisée par le nombre d’Avogadro NA = 6,02 × 1023 mol–1 (nombre d’entités élémentaires constituant une mole de matière).

Si l'on applique ce principe à la maille du chlorure de sodium (doc. 2), sachant que la masse molaire des ions Cl MCl est de 35,4 g · mol–1 et que celle des ions Na+ MNa est de 23 g · mol–1 :

– la masse de la maille est en kg : 4×MNaNA+4×MClNA ;

– le volume de la maille est en m3Vmaille = 5563.

D’où une masse volumique de ρ = 2 257 kg par m3, soit une densité d = ρρeau  de 2,26.

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