Lorsqu'on effectue une succession d'épreuves, celles-ci ne sont pas nécessairement indépendantes. Dans ce cas, on peut calculer les probabilités des événements considérés à l'aide d'un arbre.

I Représentation d'une succession d'épreuves par un arbre

En général, lorsqu'on représente par un arbre une succession d'épreuves aléatoires qui dépendent l'une de l'autre, les probabilités sur les branches diffèrent à chaque nœud.

On calcule les probabilités des événements aux extrémités des branches en multipliant les probabilités sur les branches qui y conduisent, comme indiqué sur la figure ci-dessous $\left({\text{A}}_2={\overline{\text{A}}}_1\right)$.

II Exemple de tirages successifs sans remise

On effectue deux tirages successifs sans remise d'une boule dans une urne comportant v boules vertes et r boules rouges.

On note ${\text{A}}_1$ (respectivement ${\text{A}}_2$) l'événement « on a tiré une boule verte (respectivement rouge) au premier tirage » et X l'événement « on a tiré une boule rouge au deuxième tirage ». On obtient l'arbre précédent.

On a alors $P\left({\text{A}}_1\right)=\frac{v}{v+r}$, $P\left({\text{A}}_2\right)=\frac{r}{v+r}$.

La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage dépend de la composition de l'urne à ce tirage. Cette composition est conditionnée par le tirage précédent. Par exemple, $P_{{\text{A}}_1}\left(\text{X}\right)=\frac{r}{v+r-1}$.

Remarque : On généralise le principe de l'arbre précédent à un nombre quelconque d'événements A₁, A₂, …, A_k formant une partition de Ω.

Méthode

Modéliser une suite d'épreuves à l'aide d'un arbre

On choisit l'une des trois urnes ci-dessous au hasard. On tire alors une boule. Soit X l'événement « la boule tirée est noire ».

a. Modéliser l'expérience à l'aide d'un arbre.

b. Calculer $P\left(\text{X}\right)$.

Conseils

a. Lorsqu'on choisit l'urne au hasard, chacune a la même probabilité d'être choisie. On utilise alors le principe de l'arbre développé dans la fiche.

b. Utilisez la formule des probabilités totales.

Solution

a. Si l'urne choisie est ${\text{U}}_1$ alors la probabilité de tirer une boule noire est égale à $\frac{1}{6}$ car il y a une boule noire pour un total de six boules dans l'urne.

b. En sommant les probabilités écrites aux extrémités des branches ayant un X terminal on trouve .