Suite arithmétique et suite géométrique

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Fiches
Classe(s) : 1re ST2S - 1re STI2D - 1re STL - 1re STMG | Thème(s) : Suites numériques

A Suites arithmétiques

DÉFINITION

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = unr.

EXEMPLES

La suite (un) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 de raison r = 2 : pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2.

Soit (vn) la suite arithmétique de premier terme v0 = 2 et de raison r = – 1 ;

v1v0r ; v1 = 2 – 1 ; v1 = 1 ;

v2v1r ; v2 = 1 – 1 ; v2 = 0 ;

v3v2r ; v3 = – 1.

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante, si r > 0 ; décroissante, si r < 0 ; constante si r = 0.

La représentation graphique d’une suite arithmétique (un) dans un repère du plan est constituée de points alignés de coordonnées (n, un).

B Suites géométriques

DÉFINITION

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante q appelé de raison.

En STMG, on prend q > 0.

Pour tout nombre entier naturel un+1 = qun.

EXEMPLE

On considère la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 2 et de raison q = 0,9.

u1qu0 ; u1 = 0,9 × 2 ; u1 = 1,8 ;

u2qu1 ; u2 = 0,9 × 1,8 ; u2 = 1,62 ;

u3qu2 ; u3 = 0,9 × 1,62 ; u3 = 1,458…

Une suite géométrique de raison q strictement positive et de premier terme strictement positif est :

croissante, si q > 1 ; décroissante, si 0 < q < 1 ; constante, si q = 1.

Exemple de représentation graphique d’une suite géométrique :

EXEMPLE

On considère la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 1 et de raison q = 2. u1 = 2u0 = 2 ; u2 = 2u1 = 4 ; u3 = 2u2 = 8. Sur la figure, on a placé les quatre premiers points de la représentation graphique de la suite (un). Ils sont situés sur une courbe qui n’a pas été étudiée en Seconde.

Augmentation ou diminution de x % par heure, par mois, par an

Chaque fois qu’on est confronté à une situation du type « une population, un prix… augmente de x % tous les ans par mois, par heure », on peut définir une suite géométrique de raison 1+x100.

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S’il s’agit d’une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1x100.

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