Suite arithmétique et suite géométrique

A Suites arithmétiques

DÉFINITION

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel n, u_n+1 = u_n + r.

EXEMPLES

1° La suite (u_n) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u₀ = 0 de raison r = 2 : pour tout entier naturel n, u_n+1 = u_n + 2.

2° Soit (v_n) la suite arithmétique de premier terme v₀ = 2 et de raison r = – 1 ;

v₁ = v₀ + r ; v₁ = 2 – 1 ; v₁ = 1 ;

v₂ = v₁ + r ; v₂ = 1 – 1 ; v₂ = 0 ;

v₃ = v₂ + r ; v₃ = – 1.

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante, si r > 0 ; décroissante, si r  0 ; constante si r = 0.

La représentation graphique d'une suite arithmétique (u_n) dans un repère du plan est constituée de points alignés de coordonnées (n, u_n).

B Suites géométriques

DÉFINITION

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison.

Pour tout nombre entier naturel u_n+1 = qu_n.

EXEMPLE

On considère la suite géométrique (u_n) de premier terme u₀ = 2 et de raison q = 0,9.

u₁ = qu₀ ; u₁ = 0,9 × 2 ; u₁ = 1,8 ;

u₂ = qu₁ ; u₂ = 0,9 × 1,8 ; u₂ = 1,62 ;

u₃ = qu₂ ; u₃ = 0,9 × 1,62 ; u₃ = 1,458…

Une suite géométrique de raison q strictement positive et de premier terme strictement positif est :

croissante, si q > 1 ; décroissante, si 0  q  1 ; constante, si q = 1.

Exemple de représentation graphique d'une suite géométrique :

EXEMPLE

On considère la suite géométrique (u_n) de premier terme u₀ = 1 et de raison q = 2. u₁ = 2u₀ = 2 ; u₂ = 2u₁ = 4 ; u₃ = 2u₂ = 8. Sur la figure, on a placé les quatre premiers points de la représentation graphique de la suite (u_n). Ils sont situés sur une courbe qui n'a pas été étudiée en Seconde.

Augmentation ou diminution de x % par heure, par mois, par an

Chaque fois qu'on est confronté à une situation du type « une population, un prix… augmente de x % tous les ans par mois, par heure », on peut définir une suite géométrique de raison $1+\frac{x}{100}$.

S'il s'agit d'une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison $1-\frac{x}{100}$.