Fiche de révision

Suites arithmético-géométriques

Contenu

La plupart des suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques. On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. C'est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l'évolution d'une population.

I Définition

Soient a et b deux réels et (un) une suite telle que pour tout entier naturel n :

un+1=aun+b

Si a est différent de 0 et de 1, et si b est différent de 0, on dit que la suite (un) est arithmético-géométrique.

À noter

On peut remarquer que si a = 1, la suite est arithmétique et que si b = 0, la suite est géométrique ; enfin, si a = 0, la suite est constante à partir du rang 1.

II Solution particulière constante

Théorème :

Soient a et b deux réels, a ≠ 1. Il existe une unique suite constante (cn) telle que pour tout entier naturel n, cn+1=acn+b ; elle vérifie, pour tout entier naturel n, cn=b1a.

III Utilisation de la suite auxiliaire constante

Soient a et b deux réels et (un) une suite arithmético-géométrique, telle que pour tout entier naturel n, un+1=aun+b.

Théorème : La suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=unb1a est une suite géométrique de raison a.

Conséquences :

 Pour tout entier naturel n, vn=v0an avec v0=u0b1a.

 Pour tout entier naturel n, un=v0an+b1a.

 Si 0  a1 alors limn+ un=b1a.

Remarque : Si la suite (un) est définie à partir du rang 1, on a pour tout entier naturel n non nul, vn=v1an1 avec v1=u1b1a et un=v1an1+b1a.

Méthodes

1 Déterminer une solution constante

On considère la suite (un) définie pour tout n par :

  u0 =1         un+1 =3un+2

Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que la suite (un).

conseil

Il suffit de résoudre l'équation x=3x+2.

solution

Pour  ℝ, x=3x+22x=2x=1.

La suite constante de terme général cn=1 vérifie, pour tout n,  cn+1=3cn+2.

En effet, si cn=1, alors 3cn+2=3×1+2=1=cn+1.

2 Utiliser une suite auxiliaire constante

On considère la suite (un) définie pour tout n par :

u0=1         un+1=3un+2

a. Montrer que la suite de terme général vn=un+1 est géométrique. En donner le premier terme et la raison.

b. En déduire, pour tout entier naturel n, les expressions de vn puis de un en fonction de n.

conseils

Pour montrer que la suite (vn) est géométrique, exprimez v+ 1 en fonction de u+ 1 ; déduisez-en v+ 1 en fonction de un ; concluez en factorisant par 3. On rappelle pour la fin de la question qu'une suite géométrique de raison k a pour terme général v0×kn et on remarque que un=vn1.

solution

a. Pour tout n, vn+1=un+1+1=3un+2+1=3(un+1)=3vn.

Ainsi, la suite (vn) est géométrique de raison 3, de premier terme u0+1=2.

b. Pour tout n, vn=2×3n.

Pour tout n, vn=un+1 d'où un=vn1 soit un= 2×3n1.

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