Terminale générale Maths complémentaires Suites numériques

La plupart des suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques. On utilise parfois une suite auxiliaire arithmétique ou géométrique pour étudier des suites quelconques. C'est le cas pour les suites arithmético-géométriques qui peuvent modéliser l'évolution d'une population.

I Définition

Soient a et b deux réels et (u_n) une suite telle que pour tout entier naturel n :

$u_{n + 1} = a u_{n} + b$

Si a est différent de 0 et de 1, et si b est différent de 0, on dit que la suite (u_n) est arithmético-géométrique.

À noter

On peut remarquer que si a = 1, la suite est arithmétique et que si b = 0, la suite est géométrique ; enfin, si a = 0, la suite est constante à partir du rang 1.

II Solution particulière constante

Théorème :

Soient a et b deux réels, a ≠ 1. Il existe une unique suite constante (c_n) telle que pour tout entier naturel n, $c_{n + 1} = a c_{n} + b$ ; elle vérifie, pour tout entier naturel n, $c_{n} = \frac{b}{1 - a}$ .

III Utilisation de la suite auxiliaire constante

Soient a et b deux réels et (u_n) une suite arithmético-géométrique, telle que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ .

Théorème : La suite définie, pour tout entier naturel n, par $v_{n} = u_{n} - \frac{b}{1 - a}$ est une suite géométrique de raison a.

Conséquences :

Pour tout entier naturel n, $v_{n} = v_{0} a^{n}$ avec $v_{0} = u_{0} - \frac{b}{1 - a}$ .

Pour tout entier naturel n, $u_{n} = v_{0} a^{n} + \frac{b}{1 - a}$ .

Si $0 ⩽ a 1$ alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \frac{b}{1 - a}$ .

Remarque : Si la suite (u_n) est définie à partir du rang 1, on a pour tout entier naturel n non nul, $v_{n} = v_{1} a^{n - 1}$ avec $v_{1} = u_{1} - \frac{b}{1 - a}$ et $u_{n} = v_{1} a^{n - 1} + \frac{b}{1 - a}$ .

Méthodes

1 Déterminer une solution constante

On considère la suite (u_n) définie pour tout $n \in ℕ$ par :

_{$\{\begin{array}{l} u_{0} = 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 \end{array}$}

Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que la suite (u_n).

conseil

Il suffit de résoudre l'équation $x = 3 x + 2$ .

solution

Pour x ∈ ℝ, $x = 3 x + 2 \Leftrightarrow - 2 x = 2 \Leftrightarrow x = - 1$ .

La suite constante de terme général $c_{n} = - 1$ vérifie, pour tout $n \in ℕ,$ $c_{n + 1} = 3 c_{n} + 2$ .

En effet, si $c_{n} = - 1$ , alors $3 c_{n} + 2 = 3 \times (- 1) + 2 = - 1 = c_{n + 1}$ .

2 Utiliser une suite auxiliaire constante

On considère la suite (u_n) définie pour tout $n \in ℕ$ par :

_{$\{\begin{matrix} u_{0} = 1 \\ u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2 \end{matrix}$}

a. Montrer que la suite de terme général $v_{n} = u_{n} + 1$ est géométrique. En donner le premier terme et la raison.

b. En déduire, pour tout entier naturel n, les expressions de v_n puis de u_n en fonction de n.

conseils

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique, exprimez v_n₊₁ en fonction de u_n₊₁ ; déduisez-en v_n₊₁ en fonction de u_n ; concluez en factorisant par 3. On rappelle pour la fin de la question qu'une suite géométrique de raison k a pour terme général $v_{0} \times k^{n}$ et on remarque que $u_{n} = v_{n} - 1$ .

solution

a. Pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n + 1} = u_{n + 1} + 1 = 3 u_{n} + 2 + 1 = 3 (u_{n} + 1) = 3 v_{n}$ .

Ainsi, la suite (v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme $u_{0} + 1 = 2$ .

b. Pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} = 2 \times 3^{n}$ .

Pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} = u_{n} + 1$ d'où $u_{n} = v_{n} - 1$ soit $u_{n} = 2 \times 3^{n} - 1$ .

Suites arithmético-géométriques

I Définition

À noter

II Solution particulière constante

III Utilisation de la suite auxiliaire constante

Méthodes

1 Déterminer une solution constante

conseil

solution

2 Utiliser une suite auxiliaire constante

conseils

solution

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