Suites arithmétiques

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Fiches
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Suites arithmétiques. Suites géométriques

Suites arithmétiques

Suites géométriques

1Suites arithmétiques

A Définition et exemple

Définition : Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant a appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = una.

Exemples

La suite (un) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 de raison a = 2 : pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2.

Pour démontrer qu’une suite est arithmétique

Il suffit de vérifier que, pour tout n, un+1un est constant.

Soit (vn) la suite arithmétique de premier terme v0 = 2 et de raison a = – 1 ;

v1v0a ; v1 = 2 – 1 ; v1 = 1 ;

v2v1a ; v2 = 1 – 1 ; v2 = 0 ;

v3v2a ; v3 = – 1.

B Expression du terme un en fonction de n

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a :

unu0na, pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison a :

unu1 + (n – 1)a, pour tout entier naturel n.

Exemple : La suite (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison a = 2.
u10 = u0 + 10 × a. u10 = 3 + 20 = 23.

C Sens de variation et représentation graphique d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison a est :

croissante, si a > 0 ;

décroissante, si a < 0 ;

constante, si a = 0.

La représentation graphique de la suite (un) définie par unanu0 est constituée de points de la droite d’équation yaxu0.

D Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison a :

u0+u1++un=(n+1)u0+un2 pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison a :

u1++un=nu1+un2 pour tout entier n de *.

* est l’ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique commençant par u0u1, …, on peut retenir que :

(Somme de termes successifs)=(Nombre de termes)×(Premierterme)+(Dernierterme)2.

Exemple : La suite arithmétique (un) est définie par le premier terme u0 = 500 et la raison a = 25.

On note Su0u1 + … + u9. u9u0 + 9 × a ; u9 = 500 + 225 ; u9 = 725.

S=10×u0+u92 ; (de u0 à u9, il y a 10 termes).

S=10×500+7252;S=6125.

2Suites géométriques

A Définition et exemple

Définition : Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante b appelé raison.

En ST2S, on prend b > 0.

Pour tout nombre entier naturel un+1 = bun.

Exemple

On considère la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 2 et de raison b = 0,9.

u1bu0 ; u1 = 0,9 × 2 ; u1 = 1,8 ;

u2bu1 ; u2 = 0,9 × 1,8 ; u2 = 1,62 ;

u3bu2 ; u3 = 0,9 × 1,62 ; u3 = 1,458…

Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que, pour tout entier n, un+1un est constant. Cette constante est la raison b.

Exemple

La suite de terme général un = 3n, où n est un entier naturel, est une suite géométrique puisque pour tout entier naturel n,

un+1un=3n+13n=3. La raison est 3 et le premier terme est : u0 = 1.

B Expression du terme un en fonction de n

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 ou u1, et de raison b.

Lorsque le premier terme de la suite est u0 : pour tout entier n de , un = u0bn.

Lorsque le premier terme de la suite est u1 : pour tout entier n de *, un = u1bn–1.

Exemples

La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison b = 1,1.

u4u0b4 ; u4 = 500(1,1)4 = 732,05.

La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u1 = 100 et de raison b = 0,8.

u5u1b4 ; u5 = 100(0,8)4 = 40,96.

C Sens de variation d’une suite géométrique

La suite géométrique (un) est croissante si b > 1, décroissante si 0 < b < 1, constante si b = 1.

D Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Lorsque le premier terme de la suite est u0 : u0+u1++un=u01bn+11b, b 1.

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique commençant par u0, u1, …, on peut retenir que : (Somme de termessuccessifs)=(Premierterme)×1(Raison)nombre de termes1(Raison).

Exemple :

La suite géométrique (un) est définie par le premier terme u0 = 1 000 et la raison b = 1,1.

De u0 à u5, il y a six termes.

On note S = u0u1u2u3u4u5.

S=u0×1(1,1)611,1 ; S = 7 715,61.

E Augmentation ou diminution de x % par heure, par mois, par an…

Voir l’exercice de type bac .

Chaque fois qu’on est confronté à une situation du type « une population, un prix, une concentration… augmente de x % par an, par mois, par heure… », on peut définir une suite géométrique de raison 1+x100.

S’il s’agit d’une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1x100.

Montrer que, lorsqu’une quantité augmente ou diminue de x % par heure, par semaine, par mois, par an…, on peut définir une suite géométrique

Énoncé

On prévoit que le nombre de malades atteints d’une certaine pathologie respiratoire, en France, augmente de 6 % par an à partir de 2015. On désigne par un le nombre de malades l’année (2015 + n). On a u0 = 61 353.

Dans ce qui suit, tous les résultats sont à arrondir à l’unité.

Pour tout entier n, exprimer un+1 en fonction de un.

En déduire la nature de la suite (un).

Donner, pour tout entier naturel n, l’expression de un en fonction de n.

Déterminer le nombre de malades que l’on peut prévoir pour 2021.

Méthode

Déduire de un+1=un+x100un que :

un+1 = aun, où a est un nombre réel à déterminer.

a est la raison de la suite géométrique.

Solution

Pour tout entier n, un+1=un+6100un=1+6100un ; un+1 = (1 + 0,06)un ; un+1 = 1,06un.

Voir le paragraphe A du cours.

La suite (un) est donc une suite géométrique de raison 1,06.

Pour tout entier n, unu0(1,06)n, un = 61 353(1,06)n.

On a 2 021 = 2 015 + 6. On calcule donc u6 = 61 353(1,06)6 ; u6 ≈ 87 030. On peut prévoir 87 030 malades pour 2021.

3Intérêts simples

Placer un capital C0 à x % par an avec intérêts simples signifie que, chaque année, on reçoit le même intérêt : C0×x100.

Les capitaux disponibles successifs au bout d’une année…, n années : C1, …, Cn sont alors des termes successifs d’une suite arithmétique de premier terme C0 et de raison : C0×x100.

Les emprunts d’états sont des placements de ce type.

Notation : on note souvent i=x100, i étant l’intérêt servi pour un capital de un euro.

La valeur acquise est, à la fin du placement, le montant du capital augmenté de l’intérêt produit.

Exemple

On place un capital C0 = 1 000 € à 3 % par an avec intérêts simples. On note Cn le capital disponible au bout de n années. Les nombres C0, C1, …, Cn sont des termes successifs d’une suite arithmétique de premier terme C0 et de raison a=1000×3100=30.

4Intérêts composés

Placer un capital C0 à x % par an avec intérêts composés signifie que les intérêts d’une année s’ajoutent au capital et que, l’année suivante, ils rapportent eux aussi des intérêts.

Pour un placement avec intérêts composés à x %, on note i=x100 ; i est l’intérêt versé pour un capital de un euro ; les capitaux disponibles successifs au bout d’une année, …, n d’années : C1, …, Cn sont alors des termes successifs d’une suite géométrique de premier terme C0 et de raison : (1 + i).

Les livrets A, les livrets jeunes, sont des placements de ce type.

Exemple

On place un capital C0 = 1 000 € à 3 % par an avec intérêts composés. On note Cn le capital disponible au bout de n années. Les nombres C0, C1, …, Cn sont des termes successifs d’une suite géométrique de premier terme C0 et de raison 1+3100=1,03.