A Définition, sens de variation et représentation graphique

DÉFINITION

Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel n, u_n+1 = u_n + r.

EXEMPLES

1° La suite (u_n) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u₀ = 0 de raison r = 2 : pour tout entier naturel n, u_n+1 = u_n + 2.

2° Soit (v_n) la suite arithmétique de premier terme v₀ = 2 et de raison r = – 1 ;

v₁ = v₀ + r ; v₁ = 2 – 1 ; v₁ = 1. v₂ = v₁ + r ; v₂ = 1 – 1 ; v₂ = 0. v₃ = v₂ + r ; v₃ = – 1.

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante, si r > 0 ; décroissante, si r  0 ; constante si r = 0.

La représentation graphique d'une suite arithmétique (u_n) dans un repère du plan est constituée de points alignés de coordonnées (n, u_n) alignés sur la droite d'équation y = rx + u₀.

B Suite arithmétique et moyenne arithmétique

DÉFINITION

La moyenne arithmétique des deux nombres x et y est le nombre $\frac{x+y}{2}$.

EXEMPLE

La moyenne arithmétique de 10 et 13 est 11,5.

Propriété

Trois nombres a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne arithmétique des deux autres nombres a et c.

C Expression du terme u_n en fonction de n

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r :

u_n = u₀ + nr, pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r :

u_n = u₁ + (n – 1)r, pour tout entier naturel n.

EXEMPLE

La suite (u_n) est la suite arithmétique de premier terme u₀ = 3 et de raison r = 2.

u₁₀ = u₀ + 10 × r. u₁₀ = 3 + 20 = 23.

D Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r :

$u_0+u_1+\dots +u_n=\left(n+1\right)\left(\frac{u_0+u_n}{2}\right)$ pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r :

$u_1+\dots +u_n=n\left(\frac{u_1+u_n}{2}\right)$ pour tout entier n de ℕ*.

ℕ* est l'ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.

EXEMPLE

La suite arithmétique (u_n) est définie par le premier terme u₀ = 500 et la raison r = 25.

On note S = u₀ + u₁ + … + u₉. u₉ = u₀ + 9 × r ; u₉ = 500 + 225 ; u₉ = 725.

$S=10\times \frac{u_0+u_9}{2}$ ; $S=10\times \frac{500+725}{2};S=6125$.