Suites arithmétiques

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Fiches
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Suites arithmétiques. Suites géométriques

Suites arithmétiques

Suites géométriques

1Suites arithmétiques

A Définition et exemple

Définition : Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = unr.

Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que pour tout entier naturel n, un+1 – un = r est constant.

Exemples

La suite (un) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 de raison r = 2 : pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2.

Soit (vn) la suite arithmétique de premier terme v0 = 2 et de raison r = – 1 ;

v1v0a ; v1 = 2 – 1 ; v1 = 1 ;

v2v1a ; v2 = 1 – 1 ; v2 = 0 ;

v3v2a ; v3 = – 1.

B Expression du terme un en fonction de n

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :

unu0nr, pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r :

unu1 + (n – 1)r, pour tout entier naturel n.

Exemple

La suite (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2. u10 = u0 + 10 × a. u10 = 3 + 20. u10 = 23.

C Sens de variation et représentation graphique d’une suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison a est :

croissante, si r > 0 ;

décroissante, si r < 0 ;

constante, si r = 0.

La représentation graphique de la suite (un) définie par unanu0 est constituée de points de la droite d’équation yaxu0.

D Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :

u0+u1++un=(n+1)u0+un2 pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r :

u1++un=nu1+un2 pour tout entier n de *.

* est l’ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique commençant par 
u0, u1, …, on peut retenir que :

(Somme de termes successifs)=(Nombre de termes)×(Premierterme)+(Dernierterme)2.

Les deux formules ci-contre doivent être rappelées dans les évaluations et au baccalauréat.

Exemple : La suite arithmétique (un) est définie par le premier terme u0 = 500 
et la raison r = 25.

On note Su0u1 + … + u9. u9u0 + 9 × a ; u9 = 500 + 225 ; u9 = 725.

S=10×u0+u92 ; (de u0 à u9, il y a 10 termes).

S=10×500+7252. S = 6 125.

2Suites géométriques

A Définition et exemple

En STMG, on prend q > 0.

Définition : Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante q appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel un+1 = qun.

Exemple

On considère la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 2 et de raison q = 0,9.

u1bu0 ; u1 = 0,9 × 2 ; u1 = 1,8 ;

u2bu1 ; u2 = 0,9 × 1,8 ; u2 = 1,62 ;

u3bu2 ; u3 = 0,9 × 1,62 ; u3 = 1,458…

Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que un+1un est constant. Cette constante est la raison q.

Exemple

La suite de terme général un = 3n, où n est un entier naturel, est une suite géométrique puisque pour tout entier naturel n,

un+1un=3n+13n=3. La raison est 3 et le premier terme est : u0 = 1.

B Expression du terme un en fonction de n

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 ou u1, de raison q.

Lorsque le premier terme de la suite est u0 : pour tout entier n de , un = u0qn.

Lorsque le premier terme de la suite est u1 : pour tout entier n de *, un = u1qn–1.

Exemples

La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison q = 1,1.

u4u0q4 ; u4 = 500(1,1)4 = 732,05.

La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u1 = 100 et de raison q = 0,8.

u5u1q4 ; u5 = 100(0,8)4 = 40,96.

C Sens de variation d’une suite géométrique

La suite géométrique (un) est croissante si b > 1, décroissante si 0 < b < 1, constante si q = 1.

D Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Lorsque le premier terme de la suite est u0 : u0+u1++un=u01qn+11q, q 1.

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique commençant par u0, u1, …, on peut retenir que : (Somme de termessuccessifs)=(Premierterme)×1(Raison)nombre de termes1(Raison).

Les deux formules ci-contre doivent être rappelées dans les évaluations et au baccalauréat.

Exemple :

La suite géométrique (un) est définie par le premier terme u0 = 1 000 
et la raison q = 1,1.

On note S = u0u1u2u3u4u5.

S=u0×1(1,1)611,1 ; S = 7 715,61.

E Augmentation ou diminution de x % tous les ans

Voir l’exercice de type bac .

Chaque fois qu’on est confronté à une situation du type « une population, un prix… augmente de x % tous les ans », on peut définir une suite géométrique de raison 1+x100.

Montrer que, lorsqu’une quantité augmente ou diminue de x % tous les ans, on peut définir une suite géométrique

Énoncé

L’entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.

La Première année d’extraction l’entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d’extraction, de l’appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an.

On appelle Tn le nombre de tonnes extraites l’année (1950 + n). On a donc T0 = 20 000.

Exprimer Tn+1 en fonction de Tn.

Quelle est la nature de la suite (Tn) ? En déduire l’expression de Tn en fonction de n.

Quelle était la quantité extraite en 2012 ?

Méthode

Déduire de Tn+1=Tn1100Tn que Tn+1 = aTna est un nombre réel à déterminer.

Solution

Pour tout n, Tn+1=Tn1100Tn=11100Tn ; Tn+1 = (1 – 0,01)Tn ; Tn+1 = 0,99Tn.

La suite (Tn) est donc une suite géométrique de raison 0,99.

Voir le paragraphe  B du cours

Pour tout entier n, Tn = T0(0,99)n, Tn = 20 000(0,99)n.

On a 2 012 = 1 950 + 62. La quantité extraite en 2012 était T62.

T62 = 20 000(0,99)62. En arrondissant à l’unité, T62 ≈ 10 725 tonnes.

S’il s’agit d’une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1x100.

3Intérêts simples

Placer un capital C0 à x % par an avec intérêts simples signifie que, chaque année, on reçoit le même intérêt : C0×x100.

Les capitaux disponibles successifs au bout d’une année…, n années : C1, …, Cn sont alors des termes successifs d’une suite arithmétique de premier terme C0 et de raison : C0×x100.

Notation : on note souvent i=x100, i étant l’intérêt servi pour un capital de un euro.

La valeur acquise est, à la fin du placement, le montant du capital augmenté de l’intérêt produit.

Exemple

On place un capital C0 = 1 000 € à 3 % par an avec intérêts simples. On note Cn le capital disponible au bout de n années. Les nombres C0, C1, …, Cn sont des termes successifs d’une suite arithmétique de premier terme C0 et de raison a=1000×3100=30.

Pour un capital C placé à intérêts simples, à x % pour une période (un jour, une quinzaine, un mois, un trimestre, un semestre, un an) l’intérêt est :

I=(Capitalen euros)×(Intérêtspour un euro)×(Nombrede périodes) ou, en posant i=x100, IC × i × n.

On considère un placement à intérêts simples dont le taux annuel est de x %.

Le taux proportionnel mensuel est 112x %.

Le taux proportionnel journalier est 1360x %.

4Intérêts composés

Ce type de placement est celui des livrets jeunes, des livrets A…

Placer un capital C0 à x % par an avec intérêts composés signifie que les intérêts d’une année s’ajoutent au capital et que, l’année suivante, ils rapportent eux aussi des intérêts.

Pour un placement avec intérêts composés à x %, on note i=x100 ; i est l’intérêt versé pour un capital de un euro ; les capitaux disponibles successifs au bout d’une année, …, n d’années : C1, …, Cn sont alors des termes successifs d’une suite géométrique de premier terme C0 et de raison : (1 + i).

Exemple

On place un capital C0 = 1 000 € à 1,25 % par an avec intérêts composés. On note Cn le capital disponible au bout de n années. Les nombres C0, C1, …, Cn sont des termes successifs d’une suite géométrique de premier terme C0 et de raison 1+1,25100=1,0125.

C0 désignant le capital initial, i, l’intérêt versé pour un capital de un euro au bout de la période de référence (un mois, un semestre, une année…) n, le nombre de périodes de référence, la valeur acquise au bout de n périodes avec intérêts composés est : CnC0(1 + i)n.

Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents, lorsque, à intérêts composés, ils donnent la même valeur acquise à un même capital, au bout du même temps de placement.

Exemple

On a vu que la valeur acquise par un capital C0 placé pendant n années au taux annuel de x % est, en notant i=x100, Cn = C0(1 + i)n.

On obtient un résultat analogue en remplaçant la période d’une année par : un mois, un trimestre, un semestre…

Voir la définition du  A du chapitre 1.

Par exemple, si tm est le taux mensuel équivalent au taux annuel T, en notant im=tm100 et i=T100, on obtient :

C0(1+im)12=C0(1+i) ; donc (1+im)12=1+i, donc : 1+im=(1+i)112.

Avec tm = 0,3 %, le taux annuel équivalent T est tel que : 1+0,310012=1+i,

donc i = (1,003)12 – 1 = 0,036 6.

Le taux annuel T est voisin de 3,66 %.