Les suites arithmétiques sont les plus simples à définir et à étudier. La somme de termes consécutifs de telles suites s'exprime explicitement en fonction des caractéristiques de ces suites.
I Définitions et caractérisation
Définition. Une suite u est arithmétique si et seulement s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un + r.
Le réel r s'appelle la raison de la suite.
On utilise les suites arithmétiques pour modéliser l'évolution d'une quantité dont les accroissements successifs sont constants.
Théorème. La suite u est arithmétique si et seulement s'il existe des réels r et a tels que pour tout entier naturel n :
un = a + n × r
II Propriétés
À noter
Pour montrer qu'une suite u n'est pas arithmétique, il suffit d'un contre-exemple comme u1 – u0 ≠ u2 – u1.
Dans un repère du plan, toute suite arithmétique est représentée par des points de la courbe représentative d'une fonction affine (une droite), les points sont donc alignés.
Une suite u est arithmétique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, un + 1 – un est indépendant de n.
Soit une suite u arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p :
un – up = (n – p)r.
III Somme 1 + 2 + … + n
Théorème. Pour tout entier naturel non nul n, on a :
À noter
Cette somme contient n + 1 termes.
Application. Soit la suite u arithmétique de raison r et de premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :
Méthodes
1 Déterminer si une suite est arithmétique
On considère les suites u, v, w et t définies pour tout n ∈ ℕ par :
• un = n4 – 6n3 + 11n2 – 5n
• w0 = 2 et 3wn + 1 = 3wn – 8
•
• t0 = 0 et tn + 1 = tn + n + 1
a. Calculer u0, u1, u2 et u3. La suite u est-elle arithmétique ?
b. Les suites v, w et t sont elles arithmétiques ?
conseils
Pour montrer qu'une suite (xn) est arithmétique, soit on montre que la différence xn + 1 – xn est constante, soit on montre que xn est une fonction affine de n.
solution
a. On a u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2 et u3 = 3. Mais u4 ≠ 4 donc la suite u n'est pas arithmétique.
Remarque : La connaissance des premiers termes ne suffit pas pour établir la nature de la suite.
b. Pour tout n ∈ ℕ, , donc par application immédiate d'un théorème du cours, la suite v est arithmétique de premier terme et de raison .
Pour tout n ∈ ℕ, 3wn + 1 = 3wn – 8 donc . Par définition, la suite w est arithmétique de raison .
On a t1 – t0 = 1 et t2 – t1 = 2 donc la suite t n'est pas arithmétique.
2 Déterminer un terme ou la raison d'une suite arithmétique
a. Soit la suite arithmétique u de raison – 2 telle que u5 = 7. Que vaut u10 ?
b. Soit la suite arithmétique v telle que v7 = 7 et v10 = 0. Quelle est sa raison r ?
conseils
On sait que pour une suite arithmétique x de raison r, xm – xn = (m – n) × r.
solution
a. On a u10 – u5 = (10 – 5) × (–2) soit u10 = u5 + 5 × (–2) donc u10 = –3.
b. On a v10 – v7 = (10 – 7) × r = 3 × r, soit 3 × r = – 7 donc .