Suites arithmétiques

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Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Suites numériques, modèles discrets


Les suites arithmétiques sont les plus simples à définir et à ­étudier. La somme de termes consécutifs de telles suites s’exprime ­explicitement en fonction des caractéristiques de ces suites.

I Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est arithmétique si et seulement s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un + r.

Le réel r s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites arithmétiques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont constants.

Théorème. La suite u est arithmétique si et seulement s’il existe des réels r et a tels que pour tout entier naturel n :

un = a + n × r

II Propriétés

À noter

Pour montrer qu’une suite u n’est pas arithmétique, il suffit d’un contre-exemple comme u1u0  u2 u1.

Dans un repère du plan, toute suite arithmétique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction affine (une droite), les points sont donc alignés.

Une suite u est arithmétique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, un + 1un est indépendant de n.

Soit une suite u arithmétique de raison r, alors pour tous entiers naturels n et p :

un – up = (n – p)r.

III Somme 1 + 2 + … + n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n, on a :

1+2++n=n(n+1)2 

À noter

Cette somme contient n + 1 termes.

Application. Soit la suite u arithmétique de raison r et de ­premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :

u0+u1+ un=(n+1)a+n(n+1)2r=(n+1)×u0+un2

Méthodes

1 Déterminer si une suite est arithmétique

On considère les suites u, v, w et t définies pour tout n ∈ ℕ par :

un = n4 – 6n3 + 11n2 – 5n

w0 = 2 et 3wn + 1 = 3wn – 8

vn=5+3n2

t0 = 0 et tn + 1 = tn + n + 1

a. Calculer u0, u1, u2 et u3. La suite u est-elle arithmétique ?

b. Les suites v, w et t sont elles arithmétiques ?

conseils

Pour montrer qu’une suite (xn) est arithmétique, soit on montre que la différence xn + 1xn est constante, soit on montre que xn est une fonction affine de n.

solution

a. On a u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2 et u3 = 3. Mais u4 4 donc la suite u n’est pas arithmétique.

Remarque : La connaissance des premiers termes ne suffit pas pour établir la nature de la suite.

b. Pour tout n ∈ ℕ, vn=52+32n, donc par application immédiate d’un théorème du cours, la suite v est arithmétique de premier terme v0=52 et de raison r=32.

Pour tout n ∈ ℕ, 3wn + 1 = 3wn – 8 donc wn+1=wn83. Par définition, la suite w est arithmétique de raison r=83.

On a t1t0 = 1 et t2 t1 = 2 donc la suite t n’est pas arithmétique.

2 Déterminer un terme ou la raison d’une suite arithmétique

a. Soit la suite arithmétique u de raison – 2 telle que u5 = 7. Que vaut u10 ?

b. Soit la suite arithmétique v telle que v7 = 7 et v10 = 0. Quelle est sa raison r ?

conseils

On sait que pour une suite arithmétique x de raison r, xmxn = (m n) × r.

solution

a. On a u10u5 = (10 – 5) × (–2) soit u10 = u5 + 5 × (–2) donc u10 = –3.

b. On a v10v7 = (0 – 7) × r = 3 × r, soit 3 × r = – 7 donc r=73.

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