Les suites géométriques sont des suites de références utilisées pour étudier les phénomènes qui évoluent à taux constant.
I Définitions et caractérisation
Définition. Une suite u est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un × q.
Le réel q s'appelle la raison de la suite.
On utilise les suites géométriques pour modéliser l'évolution d'une quantité dont les accroissements successifs sont à taux constants.
Théorème. La suite u est géométrique si et seulement s'il existe des réels q et a tels que pour tout entier naturel n :
un = a × qn
II Propriétés
À noter
Un contre-exemple suffit. Par exemple, si ,
la suite u n'est pas géométrique.
Dans un repère du plan, toute suite géométrique est représentée par des points de la courbe représentative d'une fonction exponentielle.
Une suite à termes non nuls u est géométrique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, est indépendant de n.
Soit une suite u géométrique de raison q non nulle alors, pour tous entiers naturels n et p :
un = upqn–p
III Somme 1 + q + … + q n
Théorème. Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel q ≠ 1 on a :
À noter
Au numérateur du membre de droite, l'exposant de q est le nombre de termes de la somme de gauche.
Application. Soit la suite u géométrique de raison q et de premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :
Méthodes
1 Déterminer si une suite est géométrique
On considère les suites u, v et w définies pour tout n ∈ ℕ par :
• un = (3n + 1)2
•
•
Les suites u, v et w sont-elles géométriques ?
conseils
Pour montrer qu'une suite (xn) est géométrique, soit on montre que le quotient est constant, soit on montre que (xn) est une fonction de n
de la forme n ↦ a × qn.
solution
On a u0 = 1, u1 = 16 et u2 = 49, comme , la suite u n'est pas géométrique.
Pour tout n ∈ ℕ, donc . On en déduit
que la suite v est géométrique de premier terme et de raison .
On a w0 = 0 et w1 = 1, quelque soit le réel q, donc w1 ≠ q × w0 donc la suite w n'est pas géométrique.
2 Déterminer un terme ou la raison d'une suite géométrique
a. Soit la suite géométrique u de raison – 3 telle que u3 = 2. Que vaut u5 ?
b. Soit une suite géométrique v telle que v4 = 3 et v6 = 15. Quelle est sa raison q ?
conseils
On sait que pour une suite géométrique x de raison q, .
solution
a. On a u5 = u3 × (–3)2 donc u5 = 18.
b. On a donc q2 = 5 puis ou .
Remarque : Il ne suffit pas toujours de connaître deux termes d'une suite géométrique pour en connaître la raison.