Suites géométriques

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Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Suites numériques, modèles discrets

Les suites géométriques sont des suites de références utilisées pour étudier les phénomènes qui évoluent à taux constant.

I Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est géométrique si et seulement s’il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, un + 1 = un × q.

Le réel q s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites géométriques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont à taux constants.

Théorème. La suite u est géométrique si et seulement s’il existe des réels q et a tels que pour tout entier naturel n :

un = a × qn

II Propriétés

À noter

Un contre-exemple suffit. Par exemple, si u1u0u2u1,

la suite u n’est pas ­géométrique.

Dans un repère du plan, toute suite géométrique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction exponentielle.

Une suite à termes non nuls u est géométrique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, un+1un est indépendant de n.

Soit une suite u géométrique de raison q non nulle alors, pour tous entiers naturels n et p :

un = upqn–p

III Somme 1 + q + … + q n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel q  1 on a :

1+q++qn=1qn+11q

À noter

Au numérateur du membre de droite, l’exposant de q est le nombre de termes de la somme de gauche.

Application. Soit la suite u géométrique de raison q et de premier terme u0 = a et n un entier naturel non nul :

u0+u1++un=u01qn+11q

Méthodes

1 Déterminer si une suite est géométrique

On considère les suites u, v et w définies pour tout n ∈ ℕ par :

un = (3n + 1)2

vn=5×2n23n

wn=13(4n1)

Les suites u, v et w sont-elles géométriques ?

conseils

Pour montrer qu’une suite (xn) est géométrique, soit on montre que le ­quotient xn+1xn est constant, soit on montre que (xn) est une fonction de n

de la forme n a × qn.

solution

On a u0 = 1, u1 = 16 et u2 = 49, comme u1u0u2u1, la suite u n’est pas géométrique.

Pour tout n ∈ ℕ, vn=5×2n×14×13n donc vn=54(23)n. On en déduit

que la suite v est géométrique de premier terme v0=54 et de raison q=23.

On a w0 = 0 et w1 = 1, quelque soit le réel q, donc w1  q × w0 donc la suite w n’est pas géométrique.

2 Déterminer un terme ou la raison d’une suite géométrique

a. Soit la suite géométrique u de raison – 3 telle que u3 = 2. Que vaut u5 ?

b. Soit une suite géométrique v telle que v4 = 3 et v6 = 15. Quelle est sa raison q ?

conseils

On sait que pour une suite géométrique x de raison q, xmxn=qmn.

solution

a. On a u5 = u3 × (–3)2 donc u5 = 18.

b. On a v6v4=q2 donc q2 = 5 puis q=5 ou q=5.

Remarque : Il ne suffit pas toujours de connaître deux termes d’une suite géométrique pour en connaître la raison.