Terminale générale Mathématiques Suites

La limite d'une suite géométrique dépend de sa raison.

La fonction exponentielle et les suites géométriques se comportent de manière analogue en l'infini.

I Limites des suites géométriques

Définitions :

Une suite divergente est une suite qui admet une limite infinie ou qui n'admet pas de limite.

Une suite convergente est une suite qui admet une limite finie.

Théorème : Soient q un réel différent de 1 et u la suite de terme général $q^{n}$ .

Si $q > 1$ , alors $lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ (u diverge vers $+ \infty$ ) ;

si $- 1 < q < 1$ , alors $lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ (u converge vers 0) ;

si $q \leq - 1,$ alors la suite de terme général $q^{n}$ n'admet pas de limite (u diverge).

À noter

Si $q = 1$ , alors la suite de terme général $q^{n}$ est constante de limite 1.

Si $q = - 1$ , alors la suite de terme général $q^{n}$ est bornée et vaut alternativement −1 et 1.

Si $q < - 1$ , alors la suite de terme général $q^{n}$ n'est pas bornée et prend alternativement des valeurs positives et négatives de valeurs absolues de plus en plus grandes.

II Limite de la fonction exponentielle

Limite en $+ \infty$

On a : $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$

On rappelle que $e \approx 2,718$ donc $e > 1$ . Ainsi la suite géométrique (eⁿ), $n \in ℕ$ , a pour limite +∞ : $\lim_{n \to + \infty} e^{n} = + \infty$ .

Limite en $- \infty$

On a : $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$

On a, pour tout $n \in ℕ$ , $e^{- n} = {(\frac{1}{e})}^{n}$ . Puisque $- 1 < \frac{1}{e} < 1$ , alors la suite géométrique ( $e^{- n}$ ) a pour limite 0. En effet, $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{e})}^{n} = 0$ , soit $\lim_{n \to + \infty} e^{- n} = 0$ .

Méthodes

1 Étudier la limite de suites géométriques

a. Étudier la limite des suites de termes généraux :

$u_{n} = {(\sqrt{5} - 5)}^{n}$ ; $v_{n} = {(\frac{π}{4})}^{n}$ et $w_{n} = - 3^{n}$ .

b. Étudier la limite de la suite de terme général $x_{n} = \frac{1 - 3^{n}}{2^{n}}$ .

Conseils

a. Comparez la raison de chaque suite géométrique aux réels −1 et 1 et appliquez le théorème.

Solution

a. L'arrondi au dixième de $\sqrt{5} - 5$ est $- 2,8$ , donc $\sqrt{5} - 5 < - 1$ . La suite u diverge sans admettre de limite.

On a $0 < \frac{π}{4} < 1$ , donc $\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ .

On a $3 > 1,$ donc $\lim_{n \to + \infty} 3^{n} = + \infty$ d'où $\lim_{n \to + \infty} w_{n} = - \infty$ .

b. Pour tout $n \in ℕ$ , $x_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{3}{2})}^{n}$ .

Or $0 < \frac{1}{2} < 1,$ donc $lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 0$ et $\frac{3}{2} > 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {(\frac{3}{2})}^{n} = + \infty$ .

Par différence, on obtient $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - \infty$ .

2 Utiliser les limites de la fonction exponentielle

Déterminer la limite en $+ \infty$ et en $- \infty$ des fonctions définies sur $ℝ$ par $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ et $g (x) = x + e^{2 x}$ .

Conseils

Les théorèmes d'opérations sur les limites sont analogues à ceux relatifs aux limites de suites (voir le chapitre 7).

Solution

On étudie dans chaque cas la limite d'une somme.

On a $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ et $lim_{x \to + \infty} e^{- x} = 0$ . D'où $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

On a $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ et $\lim_{x \to - \infty} e^{- x} = + \infty$ . D'où $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ .

On a $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ donc $lim_{x \to + \infty} e^{2 x} = + \infty$ . D'où $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ .

On a $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ donc $lim_{x \to - \infty} e^{2 x} = 0$ . D'où $\lim_{x \to - \infty} g (x) = - \infty$ .

Suites géométriques et fonction exponentielle

I Limites des suites géométriques

À noter

II Limite de la fonction exponentielle

Méthodes

1 Étudier la limite de suites géométriques

Conseils

Solution

2 Utiliser les limites de la fonction exponentielle

Conseils

Solution

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