Suites géométriques et fonction exponentielle

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Suites


La limite d’une suite géométrique dépend de sa raison.

La fonction exponentielle et les suites géométriques se comportent de manière analogue en l’infini.

I Limites des suites géométriques

Définitions :

Une suite divergente est une suite qui admet une limite infinie ou qui n’admet pas de limite.

Une suite convergente est une suite qui admet une limite finie.

Théorème : Soient q un réel différent de 1 et u la suite de terme général qn.

Si q>1, alors limn+qn=+ (u diverge vers +) ;

si 1<q<1, alors limn+qn=0 (u converge vers 0) ;

si q1, alors la suite de terme général qn n’admet pas de limite (u diverge).

À noter

Si q=1, alors la suite de terme général qn est constante de limite 1.

Si q=1, alors la suite de terme général qn est bornée et vaut alternativement −1 et 1.

Si q<1, alors la suite de terme général qn n’est pas bornée est prend alternativement des valeurs positives et négatives de valeurs absolues de plus en plus grandes.

II Limite de la fonction exponentielle

Limite en +

On a : limx+ex=+

On rappelle que e2,718 donc e>1. Ainsi la suite géométrique (en), n, a pour limite +∞ : limn+en=+.

Limite en

On a : limxex=0

On a, pour tout n, en=1en. Puisque 1<1e<1, alors la suite géométrique (en) a pour limite 0. En effet, limn+1en=0, soit limn+en=0.

Méthodes

1 Étudier la limite de suites géométriques

a. Étudier la limite des suites de termes généraux :

un=55n ; vn=π4n et wn=3n.

b. Étudier la limite de la suite de terme général xn=13n2n.

Conseils

a. Comparez la raison de chaque suite géométrique aux réels −1 et 1 et appliquez le théorème.

Solution

a. L’arrondi au dixième de 55 est 2,8, donc 55<1. La suite u diverge sans admettre de limite.

On a 0<π4<1, donc limn+vn=0.

On a 3>1, donc limn+3n=+ d’où limn+wn=.

b. Pour tout n, xn=12n32n.

Or 0<12<1, donc limn+12n=0 et 32>1 donc limn+32n=+.

Par différence, on obtient limn+xn=.

2 Utiliser les limites de la fonction exponentielle

Déterminer la limite en + et en des fonctions définies sur par fx=ex+ex et gx=x+e2x.

Conseils

Les théorèmes d’opérations sur les limites sont analogues à ceux relatifs aux limites de suites (voir le chapitre 7).

Solution

On étudie dans chaque cas la limite d’une somme.

On a limx+ex=+ et limx+ex=0. D’où limx+fx=+.

On a limxex=0 et limxex=+. D’où limxfx=+.

On a limx+ex=+ donc limx+e2x=+. D’où limx+gx=+.

On a limxex=0 donc limxe2x=0. D’où limxgx=.