La limite d'une suite géométrique dépend de sa raison. On ne considérera que les suites géométriques de raison positive et strictement inférieure à 1.
I Suites géométriques
On considère les suites géométriques de raison q positive.
Rappel : Soit une suite (un) géométrique de premier terme u0 et de raison q. On a pour tout :
À noter
Une suite géométrique u de raison q est définie pour tout par
Théorème :
Si alors
À noter
Si q = 1 alors la suite de terme général qn est constante égale à 1.
Si q = −1 alors la suite de terme général qn est bornée, et vaut alternativement −1 et 1.
Remarques :
Si q = 1 alors .
Si q > 1 alors donc .
À noter
On a pour tout , et donc soit .
II Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique
Rappel : On a pour tout réel q ≠ 1 :
Théorème :
Si alors
Méthodes
1 Étudier la limite de suites géométriques
Étudier la limite des suites de termes généraux :
; et .
conseils
Pour la suite (un), appliquez le théorème ; pour (vn), remarquez que ; pour (wn), « distribuez » le dénominateur.
solution
L'arrondi au dixième de est 0,7 donc donc .
On a pour tout , et donc .
Pour tout , . De plus, et donc , d'où par différence .
2 Déterminer la limite d'une somme de termes consécutifs
Soit n un entier naturel non nul. Déterminer la limite des sommes suivantes :
conseilS
Pour Sn, appliquez directement le théorème ; pour Tn, considérez une suite géométrique de raison ; pour Dn, remarquez qu'il manque le premier terme pour pouvoir appliquer directement le théorème.
solution
On a donc .
Pour tout , donc soit .
Pour tout , donc soit .