A Définition, exemples, sens de variation

DÉFINITION

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison.

Pour tout nombre entier naturel u_n+1 = qu_n.

EXEMPLE

On considère la suite géométrique (u_n) de premier terme u₀ = 2 et de raison q = 0,9.

u₁ = qu₀ ; u₁ = 0,9 × 2 ; u₁ = 1,8 ;

u₂ = qu₁ ; u₂ = 0,9 × 1,8 ; u₂ = 1,62 ;

u₃ = qu₂ ; u₃ = 0,9 × 1,62 ; u₃ = 1,458…

Pour démontrer qu'une suite est géométrique, il suffit de vérifier que, pour tout entier n, $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant. Cette constante est la raison q.

EXEMPLE

La suite de terme général u_n = 3ⁿ, où n est un entier naturel, est une suite géométrique puisque pour tout entier naturel n,

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{3^n}=3$. La raison est 3 et le premier terme est : u₀ = 1.

La suite géométrique (u_n) de raison q est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, constante si q = 1.

B Suite géométrique et moyenne géométrique

DÉFINITION

La moyenne géométrique des deux nombres positifs x et y est le nombre $\sqrt{\text{xy}}$.

Propriété

Trois nombres positifs a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes successifs d'une suite géomérique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne géométrique des deux autres nombres a et c.

C Expression du terme u_n en fonction de n

Théorème

Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u₀ ou u₁, et de raison q.

Lorsque le premier terme de la suite est u₀ : pour tout entier n de ℕ, u_n= u₀qⁿ.

Lorsque le premier terme de la suite est u₁ : pour tout entier n de ℕ*, u_n= u₁q^n–1.

EXEMPLES

• La suite (u_n) est la suite géométrique de premier terme u₀ = 500 et de raison q = 1,1.

u₄ = u₀q⁴ ; u₄ = 500(1,1)⁴ = 732,05.

• La suite (u_n) est la suite géométrique de premier terme u₁ = 100 et de raison q = 0,8.

u₅ = u₁q⁴ ; u₅ = 100(0,8)⁴ = 40,96.

D Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Théorème

Lorsque le premier terme de la suite est u₀ : ${\text{u}}_{\text{0}}+{\text{u}}_{\text{1}}+\dots +{\text{u}}_{\text{n}}={\text{u}}_{\text{0}}\frac{\text{1}-{\text{q}}^{\text{n+}\text{1}}}{\text{1}-\text{q}}$, q ≠ 1.

EXEMPLE

La suite géométrique (u_n) est définie par le premier terme u₀ = 1 000 et la raison q = 1,1.

On note S = u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅.

$\text{S}=u_0\times \frac{1-{\left(\mathrm{1,1}\right)}^6}{1-\mathrm{1,1}}$ ; S = 7 715,61.

E Augmentation ou diminution de x  % par heure, par mois, par an…

Chaque fois qu'on est confronté à une situation du type « une population, un prix, une concentration… augmente de x % par an, par mois, par heure… », on peut définir une suite géométrique de raison $1+\frac{x}{100}$.

S'il s'agit d'une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison $1-\frac{x}{100}$.