Suites géométriques à termes positifs

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Fiches
Classe(s) : Tle ST2S - Tle STI2D - Tle STL - Tle STMG | Thème(s) : Suites numériques

A Définition, exemples, sens de variation

DÉFINITION

Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison.

En STMG, on prend q > 0.

Pour tout nombre entier naturel un+1 = qun.

EXEMPLE

On considère la suite géométrique (un) de premier terme u0 = 2 et de raison q = 0,9.

u1qu0 ; u1 = 0,9 × 2 ; u1 = 1,8 ;

u2qu1 ; u2 = 0,9 × 1,8 ; u2 = 1,62 ;

u3qu2 ; u3 = 0,9 × 1,62 ; u3 = 1,458…

Pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que, pour tout entier n, un+1un est constant. Cette constante est la raison q.

EXEMPLE

La suite de terme général un = 3n, où n est un entier naturel, est une suite géométrique puisque pour tout entier naturel n,

un+1un=3n+13n=3. La raison est 3 et le premier terme est : u0 = 1.

u0 = 30 = 1.

La suite géométrique (un) de raison q est croissante si q > 1, décroissante si 0 q < 1, constante si 1.

B Suite géométrique et moyenne géométrique

DÉFINITION

La moyenne géométrique des deux nombres positifs x et y est le nombre xy.

Propriété

Trois nombres positifs a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes successifs d’une suite géomérique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne géométrique des deux autres nombres a et c.

C Expression du terme un en fonction de n

Théorème

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 ou u1, et de raison q.

Lorsque le premier terme de la suite est u0 : pour tout entier n de , un= u0qn.

Lorsque le premier terme de la suite est u1 : pour tout entier n de *, un= u1qn–1.

EXEMPLES

• La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison q = 1,1.

u4u0q4 ; u4 = 500(1,1)4 = 732,05.

• La suite (un) est la suite géométrique de premier terme u1 = 100 et de raison q = 0,8.

u5u1q4 ; u5 = 100(0,8)4 = 40,96.

D Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Théorème

Lorsque le premier terme de la suite est u0 : u0+u1++un=u01qn+11q, q 1.

À retenir

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique commençant par u0, u1, …, on peut retenir que : Somme de termessuccessifs=Premierterme×1Raisonnombre de termes1Raison.

EXEMPLE

La suite géométrique (un) est définie par le premier terme u0 = 1 000 et la raison q = 1,1.

On note S = u0u1u2u3u4u5.

S=u0×1(1,1)611,1 ; S = 7 715,61.

De u0 à u5, il y a six termes.

E Augmentation ou diminution de x  % par heure, par mois, par an…

Chaque fois qu’on est confronté à une situation du type « une population, un prix, une concentration… augmente de x % par an, par mois, par heure… », on peut définir une suite géométrique de raison 1+x100.

S’il s’agit d’une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1x100.

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Utilisation de la calculatrice pour les suites

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