Suites numériques

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Suites

Suites numériques

1Limite d’une suite définie par son terme général

A Limite infinie

La suite (un) a pour limite +  quand n tend vers +  signifie : pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes un sont supérieurs à 10p.

On peut trouver n pour que un soit aussi grand que l’on veut.

Exemple

limn+n=+ ; limn+n2=+ ; limn+n3=+ ; limn+n=+.

B Limite finie

La suite (un) a pour limite quand n tend vers +  signifie : pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes un sont à une distance de inférieure à 10–p.

On peut trouver n pour que un soit aussi voisin de zéro que l’on veut.

Exemple

limn+1n=0 ; limn+1n2=0 ; limn+1n3=0 ; limn+1n=0.

2Suites géométriques

A Rappels

Définition :

• Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante q appelée raison.

• Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = qun.

Expression de un en fonction de n :

• Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q :

un = u0qn pour tout n de .

• Pour une suite géométrique de premier terme u1 et de raison q :

un = u1qn–1 pour tout n de *.

un = (premier terme) × (raison)nombre de termes avant un.

Augmentation ou diminution de x %

• Chaque fois qu’on est confronté à une situation du type « une production, une population, un prix … augmente de x % tous les ans », on peut définir une suite géométrique de raison 1+x100.

• S’il s’agit d’une diminution de x %, on peut définir une suite géométrique de raison 1x100.

B Somme de termes consécutifs

Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, si q ≠ 1,

i=0nui = u0 + u1 + … + un = u0 1qn+11q.

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, on peut retenir que :

Somme de termessuccessifs=(Premier terme)×1(Raison)nombre de termes1(Raison).

Exemple

En 2016 une petite unité d’un groupe automobile fabrique 4 000 voitures électriques. On pose P0 = 4 000. On admet que la production va augmenter de 5 % par an pendant les années à venir. On désigne par Pn la production pour l’année (2016 + n).

Pn+1 = Pn + 0,05 Pn = (1 + 0,05)Pn = 1,05 Pn.

Les nombres P0, P1, …, Pn sont donc les termes successifs d’une suite géométrique de premier terme P0 = 4 000 et de raison q = 1,05.

Pour tout entier n, Pn = P0qn ; Pn = 4 000 (1,05)n.

Notons S9 = P0 + P1 + P2 + … + P9. S9 représente le nombre total de véhicules fabriqués entre le premier janvier 2016 et le 31 décembre 2025. S9=4000×1(1,05)101(1,05)50312.

C Limites de suites géométriques

Limite de qn

• Si q > 1, alors limn+qn = + ∞.

• Si q = 1, alors limn+qn = 1.

• Si 0 < q < 1, alors limn+qn = 1.

Limite d'une suite géométrique

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0, de raison q.

• Si pour tout entier n, un = u0qn, avec u0>0 et q>1, alors limní+un = + ∞.

• Si pour tout entier n, un = u0qn, avec 0<q<1, alors limní+un = 0.

Exemple

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison q = 0,8.

C01_Eq073.

Pour tout entier n, un = 2(0,8)n.

limní+un = 0.