Système de deux équations du premier degré à deux inconnues (2de)

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Fiches
Classe(s) : Séries tertiaires - Séries industrielles | Thème(s) : Étude de fonctions

A Résolution

EXEMPLE

Cherchons les nombres réels x et y tels que :

{2x3y=44x+y=1.

Pour cela nous allons remplacer ce système de deux équations par une succession de systèmes équivalents, c’est-à-dire ayant les mêmes solutions, en mettant en œuvre la méthode de substitution.

• 1re étape

À partir d’une équation (à choisir), nous exprimons une inconnue (à choisir) en fonction de l’autre.

Ici, le plus simple est d’exprimer y en fonction de x à l’aide de la deuxième équation.

{2x3y=4y=4x+1.

• 2e étape

Dans l’équation non encore utilisée, nous remplaçons y par son expression en fonctions de x.

{2x3(4x+1)=4y=4x+1.

• 3e étape

Nous résolvons l’équation ainsi obtenue qui ne contient plus qu’une seule inconnue.

{2x+12x3=4y=4x+1   {14x=7y=4x+1   {x=12y=4x+1.

• 4e étape

Nous déterminons la seconde inconnue.

{x=12y=4(12)+1   {x=12y=(2)+1   {x=12y=1.

Remarque

Il existe d’autres méthodes de résolution, par exemple la méthode par combinaisons linéaires qui peut paraître plus rapide sur certains exemples, mais qui présente des dangers : elle conduit à un résultat faux dans certains cas particuliers.

B Interpréation graphique

Reprenons le système proposé et exprimons y en fonction de x dans chaque équation.

2x3y=44x+y=1,

3y=2x+4y=4x+1,

y=23x43y=4x+1.

Nous reconnaissons, en chaque ligne du système, l’équation d’une droite que nous traçons dans un repère orthonormal.

x et y sont solutions de l’équation y=23x43 si et seulement si le point de coordonnées x et y se trouve sur la droite qui a pour équation y=23x43 ; il en est de même pour l’équation y=4x+1 et la droite ’.

Donc le système proposé a pour solution unique les coordonnées du point commun A à et ’.

Sur la figure, nous lisons x=12 et y=1 qui est le résultat obtenu à la section A. Retenez la façon dont nous avons obtenu ce résultat.

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Remarque

Nous savons que deux droites n’ont pas toujours un point commun : elles peuvent être parallèles.

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