A Résolution

EXEMPLE

Cherchons les nombres réels x et y tels que :

$\{\begin{array}{l}2x-3y=4\\ 4x+y=1.\end{array}$

Pour cela nous allons remplacer ce système de deux équations par une succession de systèmes équivalents, c'est-à-dire ayant les mêmes solutions, en mettant en œuvre la méthode de substitution.

• 1^re étape

À partir d'une équation (à choisir), nous exprimons une inconnue (à choisir) en fonction de l'autre.

Ici, le plus simple est d'exprimer y en fonction de x à l'aide de la deuxième équation.

$\{\begin{array}{l}2x-3y=4\\ y=-4x+1.\end{array}$

• 2^e étape

Dans l'équation non encore utilisée, nous remplaçons y par son expression en fonctions de x.

$\{\begin{array}{l}2x-3\left(-4x+1\right)=4\\ y=-4x+1.\end{array}$

• 3^e étape

Nous résolvons l'équation ainsi obtenue qui ne contient plus qu'une seule inconnue.

$\{\begin{array}{l}2x+12x-3=4\\ y=-4x+1\end{array}$   $\{\begin{array}{l}14x=7\\ y=-4x+1\end{array}$   $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-4x+1.\end{array}$

• 4^e étape

Nous déterminons la seconde inconnue.

$\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-4\left(\frac{1}{2}\right)+1\end{array}$   $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\left(-2\right)+1\end{array}$   $\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1.\end{array}$

B Interpréation graphique

Reprenons le système proposé et exprimons y en fonction de x dans chaque équation.

$\left\{\begin{array}{l}2x-3y=4\\ 4x+y=1,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-3y=-2x+4\\ y=-4x+1,\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}\\ y=-4x+1.\end{array}\right.$

Nous reconnaissons, en chaque ligne du système, l'équation d'une droite que nous traçons dans un repère orthonormal.

x et y sont solutions de l'équation $y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$ si et seulement si le point de coordonnées x et y se trouve sur la droite qui a pour équation $y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$ ; il en est de même pour l'équation $y=4x+1$ et la droite '.

Donc le système proposé a pour solution unique les coordonnées du point commun A à et '.

Sur la figure, nous lisons $x=\frac{1}{2}$ et $y=-1$ qui est le résultat obtenu à la section A. Retenez la façon dont nous avons obtenu ce résultat.