Systèmes de deux équations à deux inconnues

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Calcul littéral et équations

Un système de deux équations du premier degré à deux ­inconnues est une écriture comportant deux équations, disposées avec une accolade et utilisant les deux mêmes inconnues.

I Méthode de résolution par addition ou par ­soustraction

Lorsque l’écriture du système s’y prête, on cherche à éliminer l’une des deux ­inconnues en additionnant ou soustrayant les deux équations du système.

Exemple : Résoudre le système {3x+4y=265x+7y=45

 Étape 1 : On cherche x. Pour cela, on cherche à éliminer y. On multiplie les deux membres de la première équation par 7 et ceux de la deuxième par 4 :

21x+28y=18220x+28y=180

Par soustraction, on obtient : 1x + 0y = 182 – 180 = 2 donc x = 2.

 Étape 2 : Sachant que x = 2, on utilise cette valeur dans l’une des deux équations pour trouver y :

3 × 2 + 4y = 26 4y = 20 y = 5

Bilan : Le couple (2 ; 5) est la solution du système.

II Méthode de résolution par substitution

On peut utiliser cette méthode quelle que soit l’écriture du système.

Exemple : Résoudre le système {3x+5y=61y=364x

 Étape 1 : On remplace y par 36 – 4x dans la première équation :

3x + 5(36 – 4x) = 61 3x + 180 – 20x = 61 –17x = –119

On en déduit que x=11917=7.

mot clé

On dit aussi que l’on « substitue » 36 – 4x à y.

 Étape 2 : Sachant que x = 7, on utilise cette valeur pour calculer y : y = 36 – 4 × 7 = 8.

Bilan : Le couple (7 ; 8) est la solution du système.

On verra ici que la résolution d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut s’interpréter à l’aide de droites, et qu’un tel système peut parfois admettre une infinité de solutions ou bien n’admettre aucune solution.

Méthode

Résoudre un problème à l’aide d’un système

Écrire un système de deux équations à deux inconnues correspondant à chacune des situations, puis le résoudre.

a. Trouver le prix d’une rose et le prix d’un bleuet.

04539_C02_02

b. Trouver la masse d’une poire et la masse d’une pomme.

04539_C02_03

conseils

a. Nommez x le prix d’une rose et y le prix d’un bleuet, en euros.

b. Nommez x la masse d’une poire et y la masse d’une pomme, en g.

solution

a. D’après les conseils ci-dessus : {4x+3y=5,53x+4y=5

En multipliant les deux membres de la première équation par –3 et les deux membres de la seconde par 4, on obtient : {12x9y=16,512x+16y=20

En additionnant les deux équations, on trouve : 7y=3,5y=3,57=0,5.

En remplaçant y par 0,5 dans la seconde équation :

3x + 4 × 0,5 = 5 3x = 5 – 2 = 3 x = 1

Une rose coûte donc 1 € et un bleuet 50 centimes.

b. D’après les conseils : {4x=5yx+3y=884. Donc {x=54y=1,25y1,25y+3y=884

La seconde équation fournit 4,25y=884y=8844,25=208. Ensuite, en remplaçant y par 208 dans la seconde équation, on obtient : x = 1,25 × 208 = 260.

Une poire pèse 260 g et une pomme 208 g.

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