Taux d’évolution – Indice simple

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Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Indice simple en base 100. Taux d'évolution moyen

Taux d’évolution – Indice simple

Taux d’évolution moyen

1Taux d’évolution (rappels de 1re STMG)

A Taux d’évolution

Définition

Le taux d’évolution (ou variation relative) entre deux nombres réels strictement positifs, y1 et y2 est : t=y2y1y1.

Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une hausse et négatif dans le cas d’une baisse.

Le taux d’évolution peut être écrit sous forme de fraction, sous forme décimale ou sous forme de pourcentage.

Exemple : Entre 2010 et 2014, le montant de la dette publique de la France est passé de 1 595 milliards d’euros à 2 023,7 milliards d’euros.

t=2023,715951595=428,715950,269=26,9 %.

B Coefficient multiplicateur

Définition

Si t est le taux d’évolution de y1 à y2, alors y2 = (1 + t)y1 ; c = 1 + t est le coefficient multiplicateur de y1 à y2.

Dans le cas d’une hausse de a %, t=a100 est positif, et le coefficient multiplicateur c = 1 + t est supérieur à 1.

Dans le cas d’une baisse de a %, t=a100 est négatif, et le coefficient multiplicateur c = 1 + t est inférieur à 1.

Exemples

Une hausse de 10 % pour une quantité passant de y1 à y2 se traduit par :

y2=y1+10100y1=1+10100y1=1,1y1. Le coefficient multiplicateur est c = 1,1.

Une baisse de 10 % se traduit par :

y2=y110100y1=110100y1=0,9y1. Le coefficient multiplicateur est c = 0,9.

Une baisse de 98 % se traduit par :

y2=y198100y1=198100y1=0,02y1. Le coefficient multiplicateur est c = 0,02.

Une hausse de 300 % se traduit par :

y2=y1+300100y1=1+300100y1=4y1. Le coefficient multiplicateur est c = 4.

C Évolutions successives

Deux évolutions (hausses ou baisses) successives, de coefficients multiplicateur c et c', correspondent à une évolution globale (hausse ou baisse) de coefficient multiplicateur c · c' (Pour deux évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs).

Le résultat précédent se généralise au cas de plus de deux évolutions successives.

Exemples

Une quantité augmente de 10 % puis baisse de 20 %.

Le coefficient multiplicateur de la hausse est : c1 = 1,1 ; le coefficient multiplicateur de la baisse est : c2 = 0,8. ; le coefficient multiplicateur de l’évolution globale est cc1 × c2 = 0,88 = 1 – 0,12.

L’évolution globale est une baisse de 12 %.

Le prix d’une matière première utilisée dans l’industrie augmente la première année de 25 % et augmente de 30 % la seconde année. Vérifier que ces deux hausses successives correspondent à un coefficient multiplicateur de 1,625, donc à une hausse de 62,5 %.

Vérifier que deux baisses successives de 10 % et 20 % correspondent à une baisse de 28 %.

D Évolutions réciproques

Définition

Deux évolutions (hausse et baisse) sont réciproques si et seulement si leurs coefficients multiplicateurs c et c' sont inverses : cc' = 1.

Si t et t' sont les deux taux d’évolution correspondants, 1+t'=11+t.

Exemple

Une hausse de 25 % correspond à un coefficient multiplicateur c=1+25100=1,25.

Une baisse de 20 % correspond à un coefficient multiplicateur c'=120100=0,8.

c × c' = 1,25 × 0,8 = 1. Les deux évolutions sont réciproques.

2Indice simple en base 100

Définition : L’indice simple en base 100 de y2 par rapport à y1 est i=100y2y1.

Exemple

Le prix d’un plat cuisiné d’une grande marque était dans une grande surface de 8,30 euros en septembre 2014 et de 9,13 euros en septembre 2015. L’indice du prix de ce plat en septembre 2015, en prenant pour base 100 le prix en septembre 2014, est :

i=100×9,138,30=110.

Si i est l’indice y1 par rapport à y, i100=y1y est le coefficient multiplicateur de y à y1.

Le taux d’évolution entre deux valeurs de la grandeur étudiée est égal au taux d’évolution entre les indices associés à ces deux valeurs.

De même, le coefficient multiplicateur entre deux valeurs de la grandeur étudiée est égal au coefficient multiplicateur entre les indices associés à ces deux valeurs.

Exemple : Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires en euros d’un artisan entre 2008 et 2014.

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_42

L’indice i1, arrondi à 10–2, pour ­l’année 2007 est : i1100=268619270043, i1=268619270043×10099,47.

L’indice i5, arrondi à 10–2, pour l’année 2013 est i5 ≈ 117,22.

Le coefficient multiplicateur entre les indices pour 2008 et 2014 est 119,22100=1,1922 ;

1,1922 = 1 + 0,1922, d’où une hausse de l’indice, donc du chiffre d’affaires, de 19,22 % entre 2008 et 2014.

Procéder comme au 1°.

On applique le dernier résultat de ce paragraphe.

3Taux d’évolution moyen

A Racine n-ième d’un nombre réel positif

Définition

La solution positive de l’équation xn = a, où n est un entier naturel non nul et a un réel positif, est la racine n-ième de a, notée an ou a1n.

Avec la calculatrice, 3^(1/4) 1,316.

Exemples

3141,316 ; 10001101,995 ; 15300183,335.

B Taux d’évolution moyen

Le coefficient multiplicateur moyen 1 + tm est la racine n-ième du coefficient multiplicateur global 1 + t.

Définition

t étant le taux d’évolution global pendant une certaine période, le taux moyen d’évolution équivalent tm pendant une période n fois plus courte est défini par la relation :

1+tm=(1+t)1n.

Le taux moyen d’évolution tm est le taux unique qui répété n fois fournirait le même taux global t.

Exemple

Le tableau suivant donne le taux d’évolution en pourcentage du chiffre d’affaires d’une entreprise pendant quatre années consécutives.

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_43

Démontrer que le taux d’évolution global pour les quatre années est de + 74,9 %.

En déduire le taux d’évolution moyen annuel sous forme de pourcentage. Arrondir à 1 %.

Réponse :

Le taux d’évolution global t est tel que :

1 + t = (1 + 0,2)(1 + 0,25)(1 +0,06)(1 + 0,1),

1 + t = 1,749, t = 0,749 ou t = 74,9 %.

Notons tm le taux moyen annuel.

1 + t = (1 + tm)4 ; 1+tm=(1+t)14 ; 1+tm=(1,749)14 ; 1 + tm ≈ 0,15 ou tm = 15 %.