On peut, à l’aide des propriétés du produit scalaire, transformer des expressions dépendant de vecteurs. La formule d’Al-Kashi est une conséquence de l’une de ces transformations.

I Développement de $\left|\right|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2$

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ du plan :

$\left|\right|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2=|\left|\overrightarrow{u}\right|{|}^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\left|\right|\overrightarrow{v}|{|}^2$

En remplaçant $\overrightarrow{v}$ par $\text{–}\overrightarrow{v}$, on obtient :

$\text{||}\overrightarrow{u}–\overrightarrow{v}|{|}^2=|\left|\overrightarrow{u}\right|{|}^2–2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\left|\right|\overrightarrow{v}|{|}^2$.

On peut exprimer $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ à l’aide des normes :

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\right||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|{|}^2–\left|\right|\overrightarrow{u}|{|}^2–|\left|\overrightarrow{v}\right|{|}^2)$ et $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(\right|\left|\overrightarrow{u}\right|{|}^2+\left|\right|\overrightarrow{v}|{|}^2–||\overrightarrow{u}–\overrightarrow{v}|{|}^2)$.

II Formule d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle et α la mesure de l’angle $\widehat{\text{BAC}}$. On a :

${\text{BC}}^2\text{=}{\text{AB}}^2\text{+}{\text{AC}}^2\text{–}2\text{AB}\times \text{AC}\times \cos \text{α}$

Pour la démonstration de cette formule, voir.

La formule d’Al-Kashi peut également s’écrire :

AC² = BA² + BC² – 2 BA × BC × cos β, avec β mesure de $\widehat{\text{ABC}}$ ;

AB² = CA² + CB² – 2 CA × CB × cos γ, avec γ mesure de $\widehat{\text{ACB}}$.

II Transformation de $\overrightarrow{\text{MA}}\cdot \overrightarrow{\text{MB}}$

A et B sont deux points du plan, I est le milieu du segment [AB].

Pour tout point M du plan :

$\overrightarrow{\text{MA}}\cdot \overrightarrow{\text{MB}}\text{=}{\text{MI}}^2\text{–}{\text{IA}}^2$

Ou encore : $\overrightarrow{\text{MA}}\cdot \overrightarrow{\text{MB}}\text{=}{\text{MI}}^2\text{–}\frac{1}{4}{\text{AB}}^2$

Pour la démonstration de ces formules, voir.

Méthodes

1 « Résoudre » un triangle à l’aide de la formule d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle tel que AB = 9, AC = 4 et $\widehat{\text{BAC}}$ a pour mesure 60°.

Calculer BC et déterminer une mesure approchée des angles $\widehat{\text{ABC}}$ et $\widehat{\text{BCA}}.$

solution

D’après la formule d’Al-Kashi, BC² = AB² + AC² – 2 AB × AC × cos (60°).

D’où ${\text{BC}}^2\text{=}81\text{+}16\text{–}2\times 9\times 4\times \frac{1}{2}\text{=}61$, soit $\text{BC}\text{=}\sqrt{\text{61}}$.

Si β est la mesure de l’angle $\widehat{\text{ABC}}$, alors AC² = BA² + BC² – 2 BA × BC × cos β. Donc $\cos \text{β}\text{=}\frac{{\text{BA}}^2\text{+}{\text{BC}}^2\text{–}{\text{AC}}^2}{2 \text{BA}\times \text{BC}}$, soit $\cos \text{β}\text{=}\frac{126}{18\sqrt{61}}\text{=}\frac{7}{\sqrt{61}}$.

Avec la calculatrice, $\widehat{\text{ABC}}$ a pour mesure environ 26,3° et, la somme des mesures des angles étant égale à 180°, $\widehat{\text{ACB}}$ a pour mesure environ 93,7°.

2 Détermination d’un ensemble de points

A et B sont deux points tels que AB = 6. I est le milieu du segment [AB].

On appelle ℰ l’ensemble des points M du plan tels que $\overrightarrow{\text{MA}}\cdot \overrightarrow{\text{MB}}\text{=}27$.

a. Soit C le symétrique de I par rapport à A. Montrer que C appartient à ℰ.

b. Déterminer l’ensemble ℰ.

solution

a. Les vecteurs $\overrightarrow{\text{CA}}$ et $\overrightarrow{\text{CB}}$ sont colinéaires de même sens, donc $\overrightarrow{\text{CA}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}}\text{=}\text{CA}\times \text{CB}$. CA = 3 et CB = 9, donc $\overrightarrow{\text{CA}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}}\text{=}3\times 9\text{=}27$, donc C ∈ ℰ.

b. $\overrightarrow{\text{MA}}\cdot \overrightarrow{\text{MB}}\text{=}{\text{MI}}^2\text{–}\frac{1}{4}{\text{AB}}^2\text{=}{\text{MI}}^2\text{–}9$, donc :

M ∈ ℰ ⇔ MI² – 9 = 27 ⇔ MI² = 36 ⇔ MI = 6.

ℰ est donc le cercle de centre I et de rayon 6 (passant par C).