En bref L'agrandissement et la réduction d'une figure sont souvent associés à une transformation du plan appelée homothétie.

IDéfinition

Soit O et M deux points distincts du plan, et k un nombre strictement positif. L'image du point M par l'homothétie de centre O et de rapport k est le point M′ de la demi-droite [OM) tel que OM′ = k × OM.

Exemple : Image d'un point M par une homothétie de centre O et de rapport 3. On a OM′ = 3 OM.

IIAgrandissement ou réduction

Si 0 < k < 1, l'image d'une figure ℱ par l'homothétie de centre O et de rapport k est une réduction de la figure ℱ.

Si k > 1, l'image d'une figure ℱ par l'homothétie de centre O et de rapport k est un agrandissement de la figure ℱ.

Exemple :

A′B′C′ est un agrandissement du triangle ABC.

ABC est une réduction du triangle A′B′C′.

Si le triangle ABC a pour image le triangle A′B′C′ par une homothétie, ces deux triangles sont semblables. Les angles de ces deux triangles sont égaux deux à deux.

IIIHomothétie et longueur

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k, les aires par k² et les volumes par k³.

Méthode

Construire l'image d'une figure par une homothétie

ABC est un triangle rectangle et O est un point du plan.

1 Construire le triangle rectangle A′B′C′, image du triangle rectangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

2 Quelles sont les longueurs des côtés du triangle A′B′C′ ?

3 Calculer l'aire du triangle ABC. Expliquer comment on peut en déduire celle du triangle A′B′C′.

Conseils

1 Trace d'abord les demi-droites [OA), [OB) et [OC). Commence par placer le point A′ de la demi-droite [OA) tel que OA′ = 2 × OA.

2 Une homothétie multiplie les longueurs par son rapport.

3 Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, multiplie les longueurs des deux côtés de l'angle droit et divise par 2. Cherche l'effet d'une homothétie sur les aires.

Solution

1

2 Une homothétie de rapport 2 multiplie les longueurs par 2, donc :

A′B ′ = 2 × AB = 6 cm, A′C′ = 2 × AC = 8 cm et C′B′ = 2 × CB = 10 cm.

3 L'aire du triangle ABC est égale à $\frac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\frac{4\times 3}{2}=6{\text{ cm}}^2$.

Une homothétie de rapport 2 multiplie les aires par 2², donc l'aire du triangle A′B′C′ est égale à 6 × 2² = 24 cm².