En bref Les symétries, les translations et les rotations sont des transformations du plan qui conservent, entre autres, les longueurs et le parallélisme.

ILes symétries

1 La symétrie axiale

Deux points M et M′ sont symétriques par rapport à une droite $D$ si la droite $D$ est la médiatrice du segment [MM′].

2 La symétrie centrale

Deux points M et M′ sont symétriques par rapport à un point O si le point O est le milieu du segment [MM′].

Exemple : La figure ℱ₁ est un rectangle.

Pour construire la figure ℱ₂ symétrique de la figure ℱ₁ par rapport au point O, on construit les images des sommets A, B, C et D par la symétrie centrale de centre O.

IILa translation

Soit A et B deux points distincts du plan et soit M un autre point du plan. L'image du point M par la translation qui transforme le point A en B est le point M′ tel que ABM′M est un parallélogramme.

IIILa rotation

Soit O et M deux points distincts du plan et α une mesure d'angle. L'image du point M par la rotation de centre O et d'angle α est le point M′ du cercle de centre O passant par M tel que $\widehat{\text{MOM′}}=\text{α}$. On précise le sens de rotation. Ici, il est dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Méthode

Transformer une figure à l'aide d'une symétrie, translation, rotation

Construire sur le schéma ci-dessus :

1 la figure ℱ₂, image de la figure ℱ₁ par la symétrie d'axe (OA) ;

2 la figure ℱ₃, image de la figure ℱ₁ par la symétrie de centre O ;

3 la figure ℱ₄, image de la figure ℱ₁ par la translation qui transforme A en B ;

4 la figure ℱ₅, image de la figure ℱ₁ par la rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Conseils

1 Appelle E, F et G les trois sommets de la figure ℱ₁. Pour construire l'image de la figure ℱ₁ par la symétrie d'axe (OA), construis les images des points E, F et G. Pour cela, trace la perpendiculaire à (OA) passant par chacun de ces points. Utilise un compas pour conclure.

2 Trace d'abord les droites (OE), (OF) et (OG). Utilise un compas pour reporter les longueurs OE, OF et OG.

3 Trace le parallélogramme ABE′E pour construire E′ image de E.

4 Trace le cercle de centre O passant par E. Construis un angle de 90° en pensant au sens de rotation.

Solution