Translations et vecteurs

Lorsque l'on définit une translation, on définit nécessairement un vecteur. Un vecteur symbolise donc un mouvement rectiligne d'un point à un autre.

I Translations

Une translation est un procédé qui déplace un point en un autre point selon une règle imposée par deux points fixes.

Si on appelle A et B ces deux points fixes, la translation de A vers B transforme un point M en un point M′ de telle sorte que les segments [AM′] et [BM] aient le même milieu, autrement dit que le quadrilatère ABM′M soit un parallélogramme. M′ s'appelle le translaté de M.

Exemple : Sur la figure, on a placé les points M, N, P et Q ainsi que leurs translatés par la translation de A vers B.

II Vecteurs

Un vecteur symbolise une translation. Il est caractérisé par trois facteurs :

• sa direction (par exemple, horizontale ou verticale) ;

• son sens (par exemple, de gauche à droite ou de bas en haut) ;

• sa longueur (par exemple, 5 carreaux ou 4,2 cm) qu'on appelle aussi sa norme.

On note $\overrightarrow{\text{O}}$ le vecteur nul : $\overrightarrow{\text{O}}=\overrightarrow{\text{AA}}$.

En mathématiques, une direction est définie par une droite . Toutes les droites parallèles à ont la même direction que .

Lorsqu'on trace une droite, on peut la parcourir dans les deux sens : de gauche à droite ou de droite à gauche (ou encore de bas en haut ou de haut en bas).

Exemple : Si on place deux points distincts A et B sur une droite, on définit deux vecteurs de sens contraires $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{BA}}$.

1 Déterminer des points et des vecteurs liés à des translations

On considère un triangle ABC, et I, J, K les milieux respectifs des côtés [AB], [AC] et [BC]. Compléter le tableau suivant.

	L'image de	par la translation de vecteur	est
	I	$\overrightarrow{\text{BK}}$	….
	….	$\overrightarrow{\text{IJ}}$	K
	J	….	C
	….	$2 \overrightarrow{\text{KJ}}$	A

conseils

D'après la réciproque du théorème de Thalès : (JI) // (CB) et (KI) // (CA).

solution

De haut en bas : J ; B ; $\overrightarrow{\text{IK}}$ ; B.

2 Reconnaître une translation

Les frères Térieur se disputent à propos de la figure ci-dessus.

Alain : « J'ai construit la ligne bleue en transformant la ligne rouge par une translation. »

Alex : « Ce n'est pas possible ! La largeur qui les sépare n'est pas constante ! »

Qui a raison : Alain ou Alex ?

conseils

Choisissez deux points sur l'une des figures et observez les positions des deux points correspondants sur l'autre figure.

solution

C'est Alain qui a raison : les quatre vecteurs égaux représentés sur la figure ci-dessus définissent la translation.