Translations et vecteurs

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les vecteurs du plan

Lorsque l’on définit une translation, on définit nécessairement un vecteur. Un vecteur symbolise donc un mouvement rectiligne d’un point à un autre.

I Translations

Une translation est un procédé qui déplace un point en un autre point selon une règle imposée par deux points fixes.

À noter

La translation de A vers B est différente de la translation de B vers A.

Si on appelle A et B ces deux points fixes, la translation de A vers B transforme un point M en un point M de telle sorte que les segments [AM] et [BM] aient le même milieu, autrement dit que le quadrilatère ABMM soit un parallélogramme. M s’appelle le translaté de M.

Exemple : Sur la figure, on a placé les points M, N, P et Q ainsi que leurs translatés par la translation de A vers B.

04539_C10_01

II Vecteurs

Un vecteur symbolise une translation. Il est caractérisé par trois facteurs :

• sa direction (par exemple, horizontale ou verticale) ;

• son sens (par exemple, de gauche à droite ou de bas en haut) ;

À noter

La norme de u se note   u .

• sa longueur (par exemple, 5 carreaux ou 4,2 cm) qu’on appelle aussi sa norme.

On note O le vecteur nul : O=AA.

En mathématiques, une direction est définie par une droite 𝒟. Toutes les droites parallèles à 𝒟 ont la même direction que 𝒟.

Lorsqu’on trace une droite, on peut la parcourir dans les deux sens : de gauche à droite ou de droite à gauche (ou encore de bas en haut ou de haut en bas).

Exemple : Si on place deux points distincts A et B sur une droite, on définit deux vecteurs de sens contraires AB et BA.

Méthode

1 Déterminer des points et des vecteurs liés à des translations

On considère un triangle ABC, et I, J, K les milieux respectifs des côtés [AB], [AC] et [BC]. Compléter le tableau suivant.

04539_C10_02

L’image de

par la translation de vecteur

est

I

BK

….

….

IJ

K

J

….

C

….

2 KJ

A

conseils

D’après la réciproque du théorème de Thalès : (JI) // (CB) et (KI) // (CA).

solution

De haut en bas : J ; B ; IK ; B.

2 Reconnaître une translation

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Les frères Térieur se disputent à propos de la figure ci-dessus.

Alain : « J’ai construit la ligne bleue en transformant la ligne rouge par une translation. »

Alex : « Ce n’est pas possible ! La largeur qui les sépare n’est pas constante ! »

Qui a raison : Alain ou Alex ?

conseils

Choisissez deux points sur l’une des figures et observez les positions des deux points correspondants sur l’autre figure.

solution

04539_C10_04

C’est Alain qui a raison : les quatre vecteurs égaux représentés sur la figure ci-dessus définissent la translation.

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